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On a conclu de ces valeurs celles de $a^{\rm {v^{2}}}{\frac {\partial {\rm {M^{(0)}}}}{\partial a^{\rm {v}}}},a^{\rm {v^{2}}}{\frac {\partial {\rm {M^{(1)}}}}{\partial a^{\rm {v}}}},\ldots ,$ qui sont nécessaires dans la théorie de Saturne, au moyen de l’équation générale

$a^{\rm {v}}{\frac {\partial {\rm {M^{(i)}}}}{\partial a^{\rm {v}}}}+a^{\rm {iv}}{\frac {\partial {\rm {M^{(i)}}}}{\partial a^{\rm {iv}}}}=-{\rm {M}}^{(i)}.$

On a trouvé ensuite, pour 1750,

${\begin{aligned}-{\frac {2m^{\rm {v}}n^{\rm {iv}}}{5n^{\rm {v}}-2n^{\rm {iv}}}}&\left[{\begin{aligned}&a^{\rm {iv^{2}}}{\frac {\partial {\rm {P}}}{\partial a^{\rm {iv}}}}\cos \left(5n^{\rm {v}}t-2n^{\rm {iv}}t+5\varepsilon ^{\rm {v}}-2\varepsilon ^{\rm {iv}}\right)\\-&a^{\rm {iv^{2}}}{\frac {\partial {\rm {P'}}}{\partial a^{\rm {iv}}}}\sin \left(5n^{\rm {v}}t-2n^{\rm {iv}}t+5\varepsilon ^{\rm {v}}-2\varepsilon ^{\rm {iv}}\right)\end{aligned}}\right]\\\\=&\ \ -53''{,}175501.\sin \left(5n^{\rm {v}}t-2n^{\rm {iv}}t+5\varepsilon ^{\rm {v}}-2\varepsilon ^{\rm {iv}}\right)\\&\ \ +16''{,}543260.\cos \left(5n^{\rm {v}}t-2n^{\rm {iv}}t+5\varepsilon ^{\rm {v}}-2\varepsilon ^{\rm {iv}}\right),\end{aligned}}$

et pour 1950, on a trouvé cette fonction égale à

${\begin{aligned}&-51''{,}965436.\sin \left(5n^{\rm {v}}t-2n^{\rm {iv}}t+5\varepsilon ^{\rm {v}}-2\varepsilon ^{\rm {iv}}\right)\\&+19''{,}906909.\cos \left(5n^{\rm {v}}t-2n^{\rm {iv}}t+5\varepsilon ^{\rm {v}}-2\varepsilon ^{\rm {iv}}\right),\end{aligned}}$

d’où l’on a conclu la valeur de cette fonction, pour un temps quelconque $t$, égale à

${\begin{aligned}&-\left(53''{,}175501-t.0''{,}0060503\right)\sin \left(5n^{\rm {v}}t-2n^{\rm {iv}}t+5\varepsilon ^{\rm {v}}-2\varepsilon ^{\rm {iv}}\right)\\&+\left(16''{,}543260+t.0''{,}0168182\right)\cos \left(5n^{\rm {v}}t-2n^{\rm {iv}}t+5\varepsilon ^{\rm {v}}-2\varepsilon ^{\rm {iv}}\right).\end{aligned}}$

La grande inégalité de Jupiter renferme encore, par le n^o 8, le terme

$-{\frac {e^{\rm {iv}}{\rm {H}}}{2}}\sin \left(5n^{\rm {v}}t-2n^{\rm {iv}}t+5\varepsilon ^{\rm {v}}-2\varepsilon ^{\rm {iv}}-\varpi ^{\rm {iv}}+{\rm {A}}\right)\,;$

ce terme, en 1750, était égal à

${\begin{aligned}&2''{,}531758.\sin \left(5n^{\rm {v}}t-2n^{\rm {iv}}t+5\varepsilon ^{\rm {v}}-2\varepsilon ^{\rm {iv}}\right)\\-&5''{,}672724.\cos \left(5n^{\rm {v}}t-2n^{\rm {iv}}t+5\varepsilon ^{\rm {v}}-2\varepsilon ^{\rm {iv}}\right),\end{aligned}}$