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SECONDE PARTIE. — LIVRE VI.

L’expression de $\psi '$ donne

${\begin{aligned}{\frac {d\psi '}{dt}}=l&+cg\cos {\text{ϐ}}\left(\cot h+{\frac {l}{l+g}}\operatorname {tang} h\right)\cos(gt+lt)\\\\&+cg'\sin {\text{ϐ}}\left(\cot h+{\frac {l}{l+g'}}\operatorname {tang} h\right)\cos \left(g't+lt+{\frac {\pi }{2}}\right).\end{aligned}}$

En retranchant de cette valeur de ${\frac {d\psi '}{dt}}$ lorsque $t$ est nul, sa valeur à une autre époque, la différence réduite en temps, en raison de la circonférence pour une année tropique, donnera l’accroissement de l’année tropique depuis 1750. On voit, par cette formule et par la différentiation de l’expression générale de $\psi '$ donnée dans le n^o 7 du Livre V, que l’action du Soleil et de la Lune change considérablement la loi de la variation de la longueur de l’année. Dans les hypothèses les plus vraisemblables sur les masses des planètes, l’étendue entière de cette variation, ainsi que l’étendue entière de la variation de l’obliquité de l’écliptique à l’équateur, sont réduites à peu près au quart de la valeur qu’elles auraient sans cette action.

Suivant les observations, on a, en 1750, ${\frac {d\psi '}{dt}}=-154''{,}63\,;$ mais, par ce qui précède, on a, à cette époque,

${\frac {d\psi '}{dt}}=l+cg\cos {\text{ϐ}}\left(\cot h+{\frac {l}{l+g}}\operatorname {tang} h\right)\,;$

on a donc

$l+cg\cos {\text{ϐ}}\left(\cot h+{\frac {l}{l+g}}\operatorname {tang} h\right)=154''{,}63,$

équation dans laquelle on peut, en négligeant le carré de $c,$ substituer pour $h$ l’obliquité de l’écliptique à l’équateur en 1750. Cette obliquité, suivant les observations, était alors égale à $26^{\circ }{,}0796,$ d’où l’on tire

$l=155''{,}542.$

On a ensuite, en 1750,

${\rm {V}}'=h-{\frac {g}{l+g}}\cos {\text{ϐ}},$

ce qui donne

$h=26''{,}0796-3460''{,}3.$