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SECONDE PARTIE. — LIVRE VI.

que la valeur de $p''$ est sous la forme $\sum c\sin(gt+{\text{ϐ}}),$ et que $q''$ est sous la forme $\sum c\cos(gt+{\text{ϐ}}).$ On a vu, dans le n^o 59 du Livre II, que les expressions finies de $p''$ et de $q''$ se présentent sous ces formes, et l’on peut déterminer, par la méthode exposée dans le n^o 56 du même Livre, les valeurs de $c,g,$ ϐ, etc. ; mais cela suppose les masses des planètes exactement connues, et l’on a vu l’incertitude qui existe encore à cet égard. Ainsi, au lieu de faire le calcul pénible que cette méthode exige, il est préférable de le simplifier en n’étendant les résultats qu’à mille ou douze cents ans avant et après l’époque de 1750, ce qui suffit aux besoins de l’Astronomie. On pourra facilement recommencer ces calculs à mesure que le développement des variations séculaires fera mieux connaître les masses des planètes. Donnons aux valeurs de $p''$ et de $q''$ les formes suivantes, comprises dans celles-ci, $\sum c\sin(gt+{\text{ϐ}}),$$\sum c\cos(gt+{\text{ϐ}}),$

${\begin{aligned}&c\sin {\text{ϐ}}-c\cos {\text{ϐ}}\sin gt-c\sin {\text{ϐ}}\sin \left(g't+{\frac {\pi }{2}}\right),\\&c\cos {\text{ϐ}}-c\cos {\text{ϐ}}\cos gt-c\sin {\text{ϐ}}\cos \left(g't+{\frac {\pi }{2}}\right),\end{aligned}}$

$\pi$ étant la demi-circonférence dont le rayon est l’unité. Si l’on développe ces deux fonctions par rapport aux puissances du temps $t$, on aura, en les comparant aux séries précédentes,

${\begin{alignedat}{2}cg\ \ \cos {\text{ϐ}}&=-0''{,}236793,&cg'\ \ \sin {\text{ϐ}}&=-1''{,}546156,\\cg^{2}\cos {\text{ϐ}}&=\quad 0''{,}0000416506,\qquad &cg'^{2}\sin {\text{ϐ}}&=\quad 0''{,}0001330550,\end{alignedat}}$

d’où il est facile de conclure

${\begin{alignedat}{2}g&=-111''{,}978,&g'&=-54''{,}7845,\\c\sin {\text{ϐ}}&=17967''{,}0,\qquad &c\cos {\text{ϐ}}&=1346''{,}21.\end{alignedat}}$

Maintenant on a vu, dans le n^o 6 du Livre V, que la précession $\psi$ des équinoxes par rapport à l’écliptique fixe de 1750 est, en ne considérant que les variations séculaires,

$lt+\zeta +\sum \left[\left({\frac {l}{f}}-1\right)\operatorname {tang} h+\cot h\right]{\frac {lc}{f}}\sin(ft+{\text{ϐ}}).$