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MÉCANIQUE CÉLESTE.

Inégalités de la Terre dépendantes de l’action de la Lune.

30. Si l’on nomme ${\rm {U}}$ la longitude de la Lune vue du centre de la Terre, et $v''$ la longitude de la Terre vue du centre du Soleil ; si l’on nomme encore ${\rm {R}}$ le rayon vecteur de la Lune, et $r''$ celui de la Terre ; enfin, si l’on désigne par $m$ et ${\rm {M}}$ les masses de la Lune et de la Terre, et par $s$ la latitude de la Lune ; on a vu, dans le Chapitre IV, que l’inégalité du mouvement de la Terre en longitude, produite par l’action de la Lune, est

$-{\frac {m}{\rm {M}}}{\frac {\rm {R}}{r''}}\sin({\rm {U}}-v'').$

L’inégalité du rayon vecteur de la Terre est

$-{\frac {m}{\rm {M}}}{\rm {R}}\cos({\rm {U}}-v''),$

et l’inégalité du mouvement de la Terre en latitude est

$-{\frac {m}{\rm {M}}}{\frac {\rm {R}}{r''}}.$

Il faut, pour plus d’exactitude, substituer ${\frac {m}{{\rm {M}}+m}}$ au lieu de ${\frac {m}{\rm {M}}}$ dans les expressions de ces trois inégalités.

Nous supposerons, conformément aux phénomènes des marées (Livre IV, n^os 31 et 35),

${\frac {m}{\rm {R^{3}}}}={\frac {3{\rm {S}}}{r''^{3}}},$

${\rm {S}}$ étant la masse du Soleil. Or on a, par la théorie des forces centrales,

${\frac {{\rm {M}}+m}{R^{3}}}=n_{\text{ı}}^{2},\qquad {\frac {\rm {S}}{r''^{3}}}=n^{''2},$

$n_{\text{ı}}t$ étant le moyen mouvement de la Lune ; on a donc

${\frac {m}{{\rm {M}}+m}}={\frac {3n^{''2}}{n_{\text{ı}}^{2}}}$