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CHAPITRE VIII.

théorie de mercure.

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27. Les inégalités de toutes les planètes, indépendantes des excentricités, et celles qui ne dépendent que de leurs premières puissances ont été calculées par les formules du n^o 50 du Livre II. On a d’abord déterminé les valeurs de ${\rm {A}}^{(0)},{\rm {A}}^{(1)},\ldots$ et de leurs différences par les formules du n^o 49 du même Livre ; ensuite on a obtenu les résultats suivants, dans lesquels j’ai omis les perturbations du rayon vecteur dont l’effet sur la longitude géocentrique de la planète est au-dessous d’une seconde. Pour déterminer la limite qu’une inégalité du rayon vecteur doit atteindre pour produire une seconde sur la longitude géocentrique de Mercure, nous observerons que, si l’on nomme ${\rm {V}}$ cette longitude, et si l’on fait ${\frac {r}{r''}}=\alpha ,$ on a, pour la variation $\delta {\rm {V}}$ correspondante à $\delta r,$

$\delta {\rm {V}}=-{\frac {\partial r}{r''}}{\frac {\sin(v-v'')}{1-2\alpha \cos(v-v'')+\alpha ^{2}}}.$

Le maximum de la fonction

${\frac {\sin(v-v'')}{1-2\alpha \cos(v-v'')+\alpha ^{2}}}$

correspond à

$\cos(v-v'')={\frac {2\alpha }{1+\alpha ^{2}}},$

ce qui donne ${\frac {1}{1-\alpha ^{2}}}$ pour ce maximum ; on a donc alors

$\partial r=-r''\left(1-\alpha ^{2}\right)\delta {\rm {V.}}$