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il faut recourir à la valeur de $b_{s}^{(i)}$ en séries : on trouve, par le numéro cité,

$b_{s}^{(i)}=2{\frac {s(s+1)(s+2)\ldots (s+i-1)}{1.2.3\ldots i}}\alpha ^{i}$

$\times \left\{{\begin{aligned}1&+{\frac {s}{1}}{\frac {s+i}{i+1}}\alpha ^{2}+{\frac {s(s+1)}{1.2}}{\frac {(s+i)(s+i+1)}{(i+1)(i+2)}}\alpha ^{4}\\\\&+{\frac {s(s+1)(s+2)}{1.2.3}}{\frac {(s+i)(s+i+1)(s+i+2)}{(i+1)(i+2)(i+3)}}\alpha ^{6}+\ldots \end{aligned}}\right\}.$

Cette valeur de $b_{s}^{(i)}$ est ici très-convergente, à cause de la petitesse de $\alpha$ : c’est par son moyen que l’on a déterminé les valeurs de $b_{\frac {1}{2}}^{(0)},b_{\frac {1}{2}}^{(1)},\ldots b_{\frac {3}{2}}^{(0)},\ldots ,$ dans tous les cas où $\alpha$ est peu considérable. On a trouvé de cette manière, pour Mercure et Jupiter,

${\begin{alignedat}{3}b_{\frac {1}{2}}^{(0)}&=2{,}002778,\qquad &b_{\frac {1}{2}}^{(1)}&=0{,}074581,\qquad &b_{\frac {1}{2}}^{(2)}&=0{,}004164,\\\,;b_{\frac {1}{2}}^{(3)}&=0{,}000258,&b_{\frac {1}{2}}^{(4)}&=0{,}000017\,;&&\\\\{\frac {db_{\frac {1}{2}}^{(0)}}{d\alpha }}&=0{,}074891,&{\frac {db_{\frac {1}{2}}^{(1)}}{d\alpha }}&=1{,}006269,&{\frac {db_{\frac {1}{2}}^{(2)}}{d\alpha }}&=0{,}111380,\\{\frac {db_{\frac {1}{2}}^{(3)}}{d\alpha }}&=0{,}010428\,;&&&\\\\{\frac {d^{2}b_{\frac {1}{2}}^{(0)}}{d\alpha ^{2}}}&=1{,}018876,&{\frac {d^{2}b_{\frac {1}{2}}^{(1)}}{d\alpha ^{2}}}&=0{,}171781,&{\frac {d^{2}b_{\frac {1}{2}}^{(2)}}{d\alpha ^{2}}}&=1{,}499780\,;\\\\b_{\frac {3}{2}}^{(0)}&=2{,}025143,&b_{\frac {3}{2}}^{(1)}&=0{,}225613,&b_{\frac {3}{2}}^{(2)}&=0{,}020984.\end{alignedat}}$

mercure et saturne.

$\alpha ={\frac {a}{a^{\rm {v}}}}=0{,}04058547,$

d’où l’on a conclu

${\begin{aligned}b_{-{\frac {1}{2}}}^{(0)}=&2{,}00082368,\\b_{-{\frac {1}{2}}}^{(1)}=&-0{,}04057711.\end{aligned}}$