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de $y',$ sont les mêmes depuis $2q=-\pi$ jusqu’à $2q=-\theta$ que depuis $2q=\pi$ jusqu’à $2q=2\pi -\theta \,;$ en supposant donc $2q+\theta =q',$ ce qui donne

$\mu '=\mu \cos ^{2}p-\sin ^{2}p\cos q',$

on aura

${\rm {V}}={\frac {4}{3}}\pi a^{2}-{\frac {4}{3}}\alpha \pi a^{2}y+\alpha a^{2}\iint y'dpdq'\sin p,$

les intégrales étant prises depuis $p=0$ jusqu’à $p=\pi ,$ et depuis $q'=0$ jusqu’à $q=2\pi$.

Maintenant, si l’on désigne par $a^{2}{\rm {N}}$ l’intégrale de toutes les forces étrangères à l’attraction du sphéroïde et multipliées par les éléments de leurs directions, on aura par le n^o 24, dans le cas de l’équilibre,

const.$={\rm {V}}+a^{2}{\rm {N}},$

et en substituant au lieu de ${\rm {V}}$ sa valeur, on aura

const.$={\frac {4}{3}}\alpha \pi y-\alpha \iint y'dpdq'\sin p-{\rm {N}},$

équation qui n’est évidemment que l’équation de l’équilibre du n^o 24, présentée sous une autre forme. Cette équation étant linéaire, il en résulte que, si un nombre quelconque $i$ de rayons $a(1+\alpha y),\ a(1+\alpha v),\ldots$ y satisfont, le rayon $a\left[1+{\frac {\alpha }{i}}(y+v+\ldots )\right]$ y satisfera pareillement.

Supposons que les forces étrangères se réduisent à la force centrifuge due au mouvement de rotation du sphéroïde, et nommons $g$ cette force, à la distance $1$ de l’axe de rotation ; nous aurons, par le n^o 23, ${\rm {N}}={\frac {1}{2}}g\left(1-\mu ^{2}\right)\,;$ l’équation de l’équilibre sera par conséquent

const.$={\frac {4}{3}}\alpha \pi y-\alpha \iint y'dpdq'\sin p-{\frac {1}{2}}g\left(1-\mu ^{2}\right).$

En la différenciant trois fois de suite relativement à $\mu ,$ et en observant que ${\frac {\partial \mu '}{\partial \mu }}=\cos ^{2}p,$ en vertu de l’équation

$\mu '=\mu \cos ^{2}p-\sin ^{2}p\cos q',$

on aura

$0={\frac {4}{3}}\pi {\frac {\partial ^{3}y}{\partial ^{3}\mu }}-\iint dpdq'\sin p\cos ^{6}p{\frac {\partial ^{3}y'}{\partial ^{3}\mu '}}\,;$