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Si l’on réduit cette fonction dans une suite descendante par rapport aux puissances de $s,$ et que l’on représente ainsi cette suite,

${\frac {\rm {S}}{s}}\left({\rm {P}}^{(0)}+{\frac {r}{s}}{\rm {P}}^{(1)}+{\frac {r^{2}}{s^{2}}}{\rm {P}}^{(2)}+{\frac {r^{3}}{s^{3}}}{\rm {P}}^{(3)}+\ldots \right),$

on aura généralement, par les n^o 15 et 17,

${\rm {P}}^{(i)}={\frac {1.3.5\ldots (2i-1)}{1.2.3\ldots i}}\times$

$\left[\delta ^{i}-{\frac {i(i-1)}{2.(2i-1)}}\delta ^{i-2}+{\frac {i(i-1)(i-2)(i-3)}{2.4.(2i-1)(2i-3)}}\delta ^{i-4}-\ldots \right],$

$\delta$ étant égal à $\cos sv\cos \theta +\sin v\sin \theta \cos(\varpi -\psi )\,;$ il est visible d’ailleurs, par le n^o 9, que l’on a

$0={\frac {\partial .\left(1-\mu ^{2}\right){\frac {\partial {\rm {P}}^{(i)}}{\partial \mu }}}{\partial \mu }}+{\frac {\frac {\partial ^{2}{\rm {P}}^{(i)}}{\partial \varpi ^{2}}}{1-\mu ^{2}}}+i(i+1){\rm {P}}^{(i)},$

en sorte que les termes de la série précédente ont cette propriété commune avec ceux de ${\rm {V.}}$ On aura, cela posé,

${\frac {\rm {S}}{f}}-{\frac {\rm {S}}{s}}-{\frac {\rm {S}}{s^{2}}}(x'\cos v+y'\sin v\cos \psi +z'\sin v\sin \psi )=$

${\frac {{\rm {S}}r^{2}}{s^{2}}}\left({\rm {P}}^{(2)}+{\frac {r}{s}}{\rm {P}}^{(3)}+{\frac {r^{2}}{s^{2}}}{\rm {P}}^{(4)}+\ldots \right).$

S’il y a d’autres corps, ${\rm {S',S'',\ldots ,}}$ en désignant par $s',v',\psi ',{\rm {P'}}^{(i)},s'',v'',\psi '',{\rm {P''}}^{(i)},\ldots$ ce que nous avons nommé $s,v,\psi ,{\rm {P}}^{(i)}$ relativement au corps ${\rm {S}}$, on aura les parties de l’intégrale $\int ({\rm {F}}df+{\rm {F'}}df'+\ldots )$ dues à leur action, en marquant d’un trait, de deux traits, etc. les lettres $s,v,\psi ,{\rm {P}}$ dans l’expression précédente de la partie de cette intégrale due à l’action de ${\rm {S.}}$

Si l’on rassemble maintenant toutes les parties de cette intégrale, et si l’on fait

${\begin{aligned}&{\frac {g}{3}}=\alpha {\rm {Z}}^{(0)},\\\\&{\frac {\rm {S}}{s^{3}}}{\rm {P}}^{(2)}+{\frac {\rm {S'}}{s'^{3}}}{\rm {P'}}^{(2)}+\ldots -{\frac {g}{2}}\left(\mu ^{2}-{\frac {1}{3}}\right)=\alpha {\rm {Z}}^{(2)},\\\\&{\frac {\rm {S}}{s^{4}}}{\rm {P}}^{(3)}+{\frac {\rm {S'}}{s'^{4}}}{\rm {P'}}^{(3)}+\ldots =\alpha {\rm {Z}}^{(3)},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$