rotation, à la distance
de l’axe ;
sera la vitesse angulaire de rotation ; nommons ensuite
le demi-axe de rotation de la masse fluide, et
le demi-axe de son équateur. Il est facile de s’assurer que la somme des aires décrites pendant l’instant
par toutes les molécules, projetées sur le plan de l’équateur et multipliées respectivement par les molécules correspondantes, est
on aura donc
![{\displaystyle {\frac {4\pi \rho }{15}}\left(1+\lambda ^{2}\right)^{2}k^{5}{\sqrt {g}}={\rm {E}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61c31c3d6bc66f53d2ca1338ddf764636684f879)
En nommant ensuite
la masse fluide, on aura
![{\displaystyle {\frac {4}{3}}\pi k^{3}\rho \left(1+\lambda ^{2}\right)={\rm {M}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68fbf410aa91c617444a6a7e46c0f13da5e48800)
la quantité
que nous avons nommée
dans le no 18, devient ainsi
en désignant par
la fonction
L’équation du même numéro devient
![{\displaystyle 0={\frac {9\lambda +2q'\lambda ^{3}\left(1+\lambda ^{2}\right)^{-{\frac {2}{3}}}}{9+3\lambda ^{2}}}-\operatorname {arctang} \lambda .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbb7ea93a211f59f55b8eb3fba3341a5fd7fd296)
Cette équation déterminera
; on aura ensuite
au moyen de l’expression précédente de ![{\displaystyle {\rm {M.}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb19620453833c4e9f4c779518071f8462d2593c)
Nommons
la fonction
![{\displaystyle {\frac {9\lambda +2q'\lambda ^{3}\left(1+\lambda ^{2}\right)^{-{\frac {2}{3}}}}{9+3\lambda ^{2}}}-\operatorname {arctang} \lambda ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc4a9370b89c8b63ff6ecae5bed43cd56643b5e8)
qui doit être égale à zéro, par la condition de l’équilibre ; cette fonction commence par être positive lorsque
est très-petit, et finit par être négative lorsque
est infini ; il existe donc, entre
et
infini, une valeur de
qui rend cette fonction nulle, et par conséquent il y a toujours, quel que soit
une figure elliptique avec laquelle la masse fluide peut être en équilibre.