aux distances à ce centre ; en sorte que, si l’on connaît la pesanteur à sa surface, on aura la pesanteur dans l’intérieur du sphéroïde.
Si, dans l’expression de
on substitue pour
leurs valeurs données dans le numéro précédent, on aura
![{\displaystyle p={\sqrt {{\rm {A}}'^{2}a^{2}+({\rm {B}}'-g)^{2}\left(b^{2}+c^{2}\right)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01d1e4883e1bc9aba34a26c1b781e62d5e2ff6a1)
d’où l’on tire, en vertu de l’équation (1) du numéro précédent,
![{\displaystyle p={\rm {A}}'{\sqrt {a^{2}+{\frac {b^{2}+c^{2}}{\left(1+\lambda ^{2}\right)^{2}}}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac30fda5a70c4a0f1f4ca511cfa8c3dcb7ae776f)
mais l’équation de la surface de l’ellipsoïde donne
on aura donc
![{\displaystyle p={\rm {A}}'{\frac {\sqrt {k^{2}+\lambda ^{2}a^{2}}}{\sqrt {1+\lambda ^{2}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ec03072e8c80aa78f802e08b6d45c73da734f73)
est égal à
au pôle, il est nul à l’équateur ; d’où il suit que la pesanteur au pôle est à la pesanteur à l’équateur comme
est à l’unité, et par conséquent comme le diamètre de l’équateur est à l’axe du pôle.
Nommons
la perpendiculaire à la surface de l’ellipsoïde, prolongée jusqu’à la rencontre de l’axe de révolution ; on aura
![{\displaystyle t={\sqrt {(1+\lambda ^{2})(k^{2}+\lambda ^{2}a^{2})}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60f7edbcdba72a18fd7b26bf4d90b0d566c13b7c)
partant
![{\displaystyle p={\frac {{\rm {A}}'t}{1+\lambda ^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0fd996b17410c9ec90f9a6e88eb12f735925f99)
ainsi la pesanteur est proportionnelle à ![{\displaystyle t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3e6cc375ac6123d2342be53eba87b92fbbacf07)
Soit
le complément de l’angle que
fait avec l’axe de révolution ;
sera la latitude du point de la surface que l’on considère, et l’on aura, par la nature de l’ellipse,
![{\displaystyle t={\frac {\left(1+\lambda ^{2}\right)k}{\sqrt {1+\lambda ^{2}\cos ^{2}\psi }}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/820fe7bd98d4514295b383a3bd5d754c93a15d47)
on aura donc
![{\displaystyle p={\frac {{\rm {A}}'k}{\sqrt {1+\lambda ^{2}\cos ^{2}\psi }}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6643231148135c47e55d9e8e853ad1df2b8b7cdb)