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Si l’on désigne par ${\rm {Y}}^{(i)}$ ce que devient ${\rm {Y}}'^{(i)}$ lorsque l’on y change $\mu$ et $\varpi '$ dans $\mu$ et $\varpi ,$ on a, par le n^o 11,

${\rm {U}}^{(i)}={\frac {4\alpha \pi a^{i+3}}{2i+1}}{\rm {Y}}^{(i)}\,;$

on a donc ce résultat remarquable

(1)

$\iint {\rm {Y'}}^{i}d\mu 'd\varpi '.{\rm {Q}}^{(i)}={\frac {4\pi {\rm {Y}}^{(i)}}{2i+1}}.$

Cette équation ayant lieu quel que soit ${\rm {Y'}}^{(i)},$ on doit en conclure généralement que la double intégration de la fonction $\iint {\rm {Z'}}^{i}d\mu 'd\varpi '.{\rm {Q}}^{(i)},$ prise depuis $\mu '=-1$ jusqu’à $\mu '=1,$ et depuis $\varpi '=0$ jusqu’à $\varpi '=2\pi ,$ ne fait que transformer ${\rm {Z'}}^{i}$ dans ${\frac {4\pi {\rm {Z}}^{(i)}}{2i+1}},\ {\rm {Z}}^{(i)}$ étant ce que devient ${\rm {Z'^{(i)}}}$ lorsque l’on y change $\mu '$ et $\varpi '$ dans $\mu$ et $\varpi$ ; on a donc

${\rm {U}}^{(i)}={\frac {4\pi }{(i+3)(2i+1)}}\int \rho {\frac {\partial {\rm {Z'}}^{(i)}}{\partial a}}da,$

et la triple intégration dont dépend ${\rm {U}}^{(i)}$ se réduit à une seule intégration prise par rapport à $a,$ depuis $a=0$ jusqu’à sa valeur à la surface du sphéroïde.

L’équation (1) offre un moyen très-simple d’intégrer la fonction $\iint {\rm {Y}}^{i}{\rm {Z}}^{i}d\mu d\varpi ,$ depuis $\mu =-1$ jusqu’à $\mu =1$, et depuis $\varpi =0$ jusqu’à $\varpi =2\pi .$ En effet, la partie de ${\rm {Y}}^{i}$ dépendante de l’angle $n\varpi$ est, par ce qui précède, de la forme $\lambda \left({\rm {A}}^{(n)}\sin n\varpi +{\rm {B}}^{(n)}\cos n\varpi \right),\ \lambda$ étant égal à

$\left(1-\mu '^{2}\right)^{\frac {n}{2}}\left(\mu ^{i-n}-{\frac {(i-n)(i-n-1)}{2.(2i-1)}}\mu ^{i-n-2}+\ldots \right)\,;$

$onauradonc$

${\rm {Y'}}^{i}=\lambda '\left({\rm {A}}^{(n)}\sin n\varpi '+{\rm {B}}^{(n)}\cos n\varpi '\right).$

$\lambda '$ étant ce que devient $\lambda$ lorsque $\mu$ se change en $\mu '$. La partie de ${\rm {Q}}^{i}$ dépendante de l’angle $n\varpi$ est, par le numéro précédent,

$\gamma \lambda \lambda '\cos n(\varpi -\varpi '),\quad$ou$\qquad \gamma \lambda \lambda '(\cos n\varpi \cos n\varpi '+\sin n\varpi \sin n\varpi ')\,;$