La différence
étant prise en supposant
et
constants, on aura
partant
![{\displaystyle {\rm {U}}^{(i)}={\frac {1}{i+3}}\iiint \rho {\frac {\partial .{\rm {R}}^{i+3}}{\partial a}}dad\mu 'd\varpi '.{\rm {Q}}^{(i)}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e199980edc321b30875c539af15ce16710552b47)
Concevons
développé dans une suite de cette forme
![{\displaystyle {\rm {Z'^{0}+Z'^{1}+Z'^{2}+Z'^{3}+\ldots ,}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e095f88ea6ca09612f53d73a6614a9c4b3083501)
étant, quel que soit
une fonction rationnelle et entière de
et
qui satisfait à l’équation aux différences partielles
![{\displaystyle 0={\frac {\partial .\left(1-\mu ''^{2}\right){\dfrac {\partial {\rm {Z'}}^{(i)}}{\partial \mu '}}}{\partial \mu '}}+{\frac {\dfrac {\partial ^{2}{\rm {Z'}}^{(i)}}{\partial \varpi '^{2}}}{1-\mu '^{2}}}+i(i+1){\rm {Z'}}^{(i)}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc61613fc44863934fb2d0f9345be504e1c4229a)
La différence de
prise par rapport à
satisfait encore à cette équation, et par conséquent elle est de la même forme ; on ne doit donc, en vertu du théorème général du no 12, considérer que le terme
dans le développement de
et alors on a
![{\displaystyle {\rm {U}}^{(i)}={\frac {1}{i+3}}\iiint \rho {\frac {\partial .{\rm {Z'}}^{i}}{\partial a}}dad\mu 'd\varpi '.{\rm {Q}}^{(i)}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0d727745e0349f5f911da0d947bf228671ad76b)
Lorsque le sphéroïde est homogène et peu différent d’une sphère, on peut supposer
et
on a alors, en intégrant par rapport à
![{\displaystyle {\rm {U}}^{(i)}={\frac {1}{i+3}}\iint {\rm {Z'}}^{i}d\mu 'd\varpi '.{\rm {Q}}^{(i)}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c116c98f0308cf5fd67e9f57e90d87472f61fa7f)
De plus, si l’on suppose
développé dans une suite de la forme
![{\displaystyle {\rm {Y'^{(0)}+Y'^{(1)}+Y'^{(2)}+Y'^{(3)}+\ldots ,}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7164db71b4c94c5ef4a0b7e6bf89ab22c6ad4176)
satisfaisant à la même équation aux différences partielles que
on aura, en négligeant les quantités de l’ordre
on aura donc
![{\displaystyle {\rm {U}}^{(i)}=\alpha a^{i+3}\iint {\rm {Y'}}^{i}d\mu 'd\varpi '.{\rm {Q}}^{(i)}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f49e2343d06a1ed4dfa3c5c1ad65bde835be6251)