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16. De ce qui précède nous pouvons conclure la forme générale des fonctions ${\rm {Y}}^{(i)}$ de $\mu ,{\sqrt {1-\mu ^{2}}}\sin \varpi$ et ${\sqrt {1-\mu ^{2}}}\cos \varpi ,$ qui satisfont à l’équation aux différences partielles

$0={\frac {\partial .\left(1-\mu ^{2}\right){\frac {\partial {\rm {Y}}^{(i)}}{\partial \mu }}}{\partial \mu }}+{\frac {\frac {\partial ^{2}{\rm {Y}}^{(i)}}{\partial \varpi ^{2}}}{1-\mu ^{2}}}+i(i+1){\rm {Y}}^{(i)}.$

En désignant par ϐ le coefficient de $\sin n\varpi$ ou de $\cos n\varpi$ dans la fonction ${\rm {Y}}^{(i)},$ on aura

$0={\frac {\partial .\left(1-\mu ^{2}\right){\frac {\partial {\text{ϐ}}}{\partial \mu }}}{\partial \mu }}+{\frac {\frac {n^{2}{\text{ϐ}}}{\partial \varpi ^{2}}}{1-\mu ^{2}}}+i(i+1){\text{ϐ}}.$

${\text{ϐ}}$ est égal à $(1-\mu ^{2})^{\frac {n}{2}}$ multiplié par une fonction rationnelle et entière de $\mu$, et dans ce cas on a, par le numéro précédent,

ϐ$={\rm {A}}^{(n)}\left(1-\mu '^{2}\right)^{\frac {n}{2}}\left[\mu ^{i-n}-{\frac {(i-n)(i-n-1)}{2.(2i-1)}}\mu ^{i-n-2}+\ldots \right],$

${\rm {A}}^{(n)}$ étant une arbitraire ; ainsi, la partie de ${\rm {Y}}^{(i)}$ dépendante de l’angle $n\varpi$ est

$\left(1-\mu '^{2}\right)^{\frac {n}{2}}\left(\mu ^{i-n}-{\frac {(i-n)(i-n-1)}{2.(2i-1)}}\mu ^{i-n-2}+\ldots \right)\times$

$\left({\rm {A}}^{(n)}\sin n\varpi +{\rm {B}}^{(n)}\cos n\varpi \right),$

${\rm {A}}^{(n)}$ et ${\rm {B}}^{(n)}$ étant deux arbitraires. Si l’on fait successivement, dans cette fonction, $n=0,n=1,n=2,\ldots ,n=i,$ la somme de toutes les fonctions qui en résulteront sera l’expression générale de ${\rm {Y}}^{(i)},$ et cette expression renfermera $2i+1$ arbitraires ${\rm {B}}^{(0)},{\rm {A}}^{(1)},{\rm {B}}^{(1)},{\rm {A}}^{(2)},{\rm {B}}^{(2)},\ldots .$

Considérons maintenant une fonction ${\rm {S}}$, rationnelle et entière de l’ordre $s,$ des trois coordonnées orthogonales $x,y,z.$ Si l’on représente par ${\rm {R}}$ la distance du point déterminé par ces coordonnées à leur origine, par $\theta$ l’angle formé par ${\rm {R}}$ et par l’axe des $x$, et par $\varpi$ l’angle que le plan des $x$ et des $y$ forme avec le plan passant par ${\rm {R}}$ et par l’axe des $x$, on aura

$x={\rm {R}}\mu ,\qquad y={\rm {R}}{\sqrt {1-\mu ^{2}}}\cos \varpi ,\qquad z={\rm {R}}{\sqrt {1-\mu ^{2}}}\sin \varpi .$