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imaginaires, et si l’on nomme $c$ le nombre dont le logarithme hyperbolique est l’unité, la partie indépendante de $\mu \mu '$ devient

$\left(r-{\rm {R}}c^{(\varpi -\varpi '){\sqrt {-1}}}\right)^{-{\frac {1}{2}}}\left(r-{\rm {R}}c^{-(\varpi -\varpi '){\sqrt {-1}}}\right)^{-{\frac {1}{2}}}.$

Le coefficient de ${\frac {{\rm {R}}^{i}}{r^{i+1}}}{\frac {c^{n(\varpi -\varpi '){\sqrt {-1}}}+c^{-n(\varpi -\varpi '){\sqrt {-1}}}}{2}}$ ou de ${\frac {{\rm {R}}^{i}}{r^{i+1}}}\cos n(\varpi -\varpi ')$ dans le développement de cette fonction est

${\frac {2.1.3.5\ldots (i+n-1).1.3.5\ldots (i-n-1)}{2.4.6\ldots (i+n).2.4.6\ldots (i-n)}}\,;$

c’est la valeur de ϐ lorsque $i-n$ est pair. En la comparant à celle que nous venons de trouver dans le même cas, on aura

$\gamma =2\left[{\frac {1.3.5\ldots (2i-1)}{1.2.3\ldots i}}\right]^{2}{\frac {i(i-1)\ldots (i-n+1)}{(i+1)(i+2)\ldots (i+n)}}.$

Lorsque $n=0,$ il ne faut prendre que la moitié de ce coefficient, et alors on a

$\gamma =2\left[{\frac {1.3.5\ldots (2i-1)}{1.2.3\ldots i}}\right]^{2}.$

Pareillement, le coefficient de ${\frac {R^{i}}{r^{i+1}}}\mu \mu '\cos(\varpi -\varpi ')$ dans la fonction (f) est

${\frac {2.1.3.5\ldots (i+n).1.3.5\ldots (i-n)}{2.4.6\ldots (i+n-1).2.4.6\ldots (i-n-1)}}\,;$

c’est le coefficient de $\mu \mu '$ dans la valeur de ϐ, lorsque l’on néglige les carrés de $\mu$ et de $\mu ',$ et lorsque $i-n$</math> est impair. En le comparant à l’expression que nous venons de trouver pour ce coefficient dans le même cas, on aura

$\gamma =2\left[{\frac {1.3.5\ldots (2i-1)}{1.2.3\ldots i}}\right]^{2}{\frac {i(i-1)\ldots (i-n+1)}{(i+1)(i+2)\ldots (i+n)}},$

expression qui est la même que dans le cas de $i-n$ pair. Si $n=0$ on aura encore

$\gamma =\left[{\frac {1.3.5\ldots (2i-1)}{1.2.3\ldots i}}\right]^{2}.$