à a la valeur de
donnée par la formule (3) du no 11, et que l’on nomme
la densité de la couche dont le rayon est
étant une fonction de
seul, la valeur de
correspondante à cette couche sera, pour un point attiré extérieur,
![{\displaystyle {\frac {4\pi }{3r}}\rho d.a^{3}+{\frac {4\alpha \pi \rho }{r}}d\left(a^{3}{\rm {Y}}^{(0)}+{\frac {a^{4}}{3r}}{\rm {Y}}^{(1)}+{\frac {a^{5}}{5r^{2}}}{\rm {Y}}^{(2)}+\ldots \right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1fb890abc08658539bf03a6df7db7e849d9bfaff)
cette valeur sera donc, relativement au sphéroïde entier,
![{\displaystyle {\rm {V}}={\frac {4\pi }{3r}}\int \rho d.a^{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3a72c5d6f1a0886da8436416a85e7e5cf2130ad)
![{\displaystyle +{\frac {4\alpha \pi }{r}}\int \rho d\left(a^{3}{\rm {Y}}^{(0)}+{\frac {a^{4}}{3r}}{\rm {Y}}^{(1)}+{\frac {a^{5}}{5r^{2}}}{\rm {Y}}^{(2)}+{\frac {a^{6}}{7r^{3}}}{\rm {Y}}^{(3)}+\ldots \right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25ca16fd4fa2f061f72334bc9eb15882af8ff8c3)
les intégrales étant prises depuis
jusqu’à la valeur de
qui a lieu à la surface du sphéroïde, et que nous désignerons par ![{\displaystyle {\rm {a}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1487a7d1a0d2b3dc17594935f87880e18cb1fc23)
Pour avoir la partie de
relative à un point attiré intérieur au sphéroïde, on déterminera d’abord la partie de cette valeur relative à toutes les couches auxquelles ce point est extérieur. Cette première partie est donnée par la formule (5), en prenant l’intégrale depuis
jusqu’à
étant relatif à la couche sur laquelle se trouve le point attiré. On déterminera la seconde partie de
, relative à toutes les couches dans l’intérieur desquelles ce point se trouve, en différenciant la formule (4) du numéro précédent par rapport à
en multipliant ensuite cette différentielle par
, et en prenant l’intégrale depuis
jusqu’à
; la somme de ces deux parties de
sera sa valeur entière relative à un point intérieur, et l’on aura pour cette somme
(6)
|
|
|
les deux premières intégrales étant prises depuis
jusqu’à
et les deux dernières étant prises depuis
jusqu’à
; il faut de plus, après les intégrations, substituer
au lieu de
dans les termes
multipliés par
, et
au lieu de
dans le terme ![{\displaystyle {\frac {4\pi }{3r}}\int \rho d.a^{3}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c61824672c087a1d8267ee0c5cb86f58618c5a12)