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$i=0,$ on a, par le n^o 9, ${\rm {Q^{(i)}\,;}}$ de plus, l’intégration relative à $\varpi '$ doit être prise depuis $\varpi '=0$ jusqu’à $\varpi '=2\pi$ ; on aura donc

$v^{(0)}=2\pi \left(a^{2}-r^{2}\right).$

Cette valeur de $v^{(0)}$ est la partie de ${\rm {V}}$ relative à la couche sphérique de l’épaisseur $a-r.$

La partie de ${\rm {V}}$ relative à la sphère dont le rayon est $r$ est égale à la masse de cette sphère, divisée par la distance du point attiré à son centre ; elle est par conséquent égale à ${\frac {4\pi r^{2}}{3}}.$ En réunissant ces diverses parties de ${\rm {V}}$, on aura, pour sa valeur entière,

(4)$\quad {\rm {V}}=2\pi a^{2}-{\frac {2}{3}}\pi r^{2}$

$+4\alpha \pi a^{2}\left({\rm {Y}}^{(0)}+{\frac {r}{3a}}{\rm {Y}}^{(1)}+{\frac {r^{2}}{5a^{2}}}{\rm {Y}}^{(2)}+{\frac {r^{3}}{7a^{3}}}{\rm {Y}}^{(3)}+\ldots \right).$

Supposons le point attiré placé au dedans d’une couche à très-peu près sphérique, dont le rayon intérieur est

$a+\alpha a\left({\rm {Y^{(0)}+Y^{(1)}+Y^{(2)}+\ldots }}\right),$

et dont le rayon extérieur est

$a'+\alpha a'\left({\rm {Y'^{(0)}+Y'^{(1)}+Y'^{(2)}+\ldots }}\right),$

On peut comprendre les quantités $\alpha a{\rm {Y^{(0)}}}$ et $\alpha a'{\rm {Y'^{(0)}}}$ dans les quantités $a$ et $a'$ ; de plus, en fixant l’origine des coordonnées au centre de gravité du sphéroïde dont le rayon serait $a+\alpha a\left({\rm {Y^{(0)}+Y^{(1)}+\ldots }}\right),$ on fera disparaître ${\rm {Y}}^{(1)}$ de l’expression de ce rayon, et alors le rayon intérieur de la couche sera de cette forme

$a+\alpha a\left({\rm {Y^{(2)}+Y^{(3)}+Y^{(4)}+\ldots }}\right),$

et le rayon extérieur sera de la forme

$a'+\alpha a'\left({\rm {Y'^{(1)}+Y'^{(2)}+Y'^{(3)}+\ldots }}\right).$

On aura la valeur de ${\rm {V}}$ relative à cette couche, en prenant la différence des valeurs de ${\rm {V}}$ relatives à deux sphéroïdes dont le plus petit aurait la