Si
et
sont des fonctions rationnelles et entières de
et
qui satisfont aux équations suivantes,
![{\displaystyle {\begin{aligned}&0={\frac {\partial .\left(1-\mu ^{2}\right){\cfrac {\partial {\rm {Y}}^{(i)}}{\partial \mu }}}{\partial \mu }}+{\frac {\cfrac {\partial ^{2}{\rm {Y}}^{(i)}}{\partial \varpi ^{2}}}{1-\mu ^{2}}}+i(i+1){\rm {Y}}^{(i)},\\\\&0={\frac {\partial .\left(1-\mu ^{2}\right){\cfrac {\partial {\rm {Z}}^{(i')}}{\partial \mu }}}{\partial \mu }}+{\frac {\cfrac {\partial ^{2}{\rm {Z}}^{(i')}}{\partial \varpi ^{2}}}{1-\mu ^{2}}}+i'(i'+1){\rm {Z}}^{(i')},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d0a20d2570d2a6676bec2085d5579e70819f9c3)
on a généralement
![{\displaystyle \iint {\rm {Y}}^{(i)}{\rm {Z}}^{(i')}d\mu d\varpi =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4b330874ef1081cd013cd59516f483ab9d9b97f)
lorsque
et
sont des nombres entiers positifs différents entre eux, les intégrales étant prises depuis
jusqu’à
et depuis
jusqu’às
étant la circonférence dont le rayon est l’unité.
Pour démontrer ce théorème, nous observerons qu’en vertu de la première des deux équations précédentes aux différences partielles, on a
![{\displaystyle {\begin{aligned}\iint {\rm {Y}}^{(i)}{\rm {Z}}^{(i')}d\mu d\varpi =&-{\frac {1}{i(i+1)}}\iint {\rm {Z}}^{(i')}{\frac {\partial .\left(1-\mu ^{2}\right){\cfrac {\partial {\rm {Y}}^{(i)}}{\partial \mu }}}{\partial \mu }}d\mu d\varpi \\&-{\frac {1}{i(i+1)}}\iint {\frac {{\rm {Z}}^{(i')}{\cfrac {\partial ^{2}{\rm {Y}}^{(i)}}{\partial \varpi ^{2}}}}{1-\mu ^{2}}}d\mu d\varpi .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7113d0811dbfb6e3e3f098aa16425a8695740e9)
Or on a, en intégrant par parties relativement à ![{\displaystyle \mu ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e7e1ef161a49a22b500d63307460ad92eeb6a16)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int {\rm {Z}}^{(i')}{\frac {\partial .\left(1-\mu ^{2}\right){\cfrac {\partial {\rm {Y}}^{(i)}}{\partial \mu }}}{\partial \mu }}d\mu =&\left(1-\mu ^{2}\right){\frac {\partial {\rm {Y}}^{(i)}}{\partial \mu }}{\rm {Z}}^{(i')}-\left(1-\mu ^{2}\right){\rm {Y}}^{(i)}{\frac {\partial {\rm {Z}}^{(i')}}{\partial \mu }}\\\\&+\int {\rm {Y}}^{(i')}{\frac {\partial .\left(1-\mu ^{2}\right){\cfrac {\partial {\rm {Z}}^{(i')}}{\partial \mu }}}{\partial \mu }}d\mu ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7b849b56125c88702cca97f11b38eb9b0c048ed)
et il est clair que, si l’on prend l’intégrale depuis
jusqu’à
le second membre de cette équation se réduit à son dernier terme. On a pareillement, en intégrant par parties relativement à ![{\displaystyle \varpi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba2780c817940f7731f7db78247ee19073efbb56)
![{\displaystyle \int {\rm {Z}}^{(i')}{\frac {\partial ^{2}{\rm {Y}}^{(i)}}{\partial \varpi ^{2}}}d\varpi ={\rm {const}}+{\rm {Z}}^{(i')}{\frac {\partial {\rm {Y}}^{(i)}}{\partial \varpi }}-{\rm {Y}}^{(i)}{\frac {\partial {\rm {Z}}^{(i')}}{\partial \varpi }}+\int {\rm {Y}}^{(i)}{\frac {\partial ^{2}{\rm {Z}}^{(i')}}{\partial \varpi ^{2}}}d\varpi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a733cff1560fcfc0c1dad5727333a47e0d83078)