manière ; on aura donc généralement, en comparant les fonctions semblables,
![{\displaystyle {\rm {U}}^{(i)}={\frac {4\alpha \pi }{2i+1}}a^{i+3}{\rm {Y}}^{(i)},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a37c86941f7d7b4bb6a6e51c657b28985d648ac9)
d’où l’on tire, quel que soit
(3)
|
|
|
Il ne s’agit donc plus, pour avoir
, que de réduire
sous la forme que nous venons de lui supposer ; nous donnerons dans la suite une méthode fort simple pour cet objet.
Si l’on avait
la partie de
relative à l’excès du sphéroïde sur la sphère dont le rayon est
ou, ce qui revient au même, relative à une couche sphérique dont le rayon est
et l’épaisseur
serait
cette valeur serait, par conséquent, proportionnelle à
et il est visible que ce n’est que dans ce cas que cette proportionnalité peut avoir lieu.
12. On peut simplifier l’expression
de
et en faire disparaître les deux premiers termes, en prenant pour
le rayon d’une sphère égale en solidité au sphéroïde, et en fixant l’origine arbitraire de
au centre de gravité du sphéroïde. Pour le faire voir, nous observerons que la masse
du sphéroïde, supposé homogène et d’une densité représentée par l’unité, est, par le no 8, égale à
ou à
étant le rayon
prolongé jusqu’à la surface du sphéroïde. En substituant pour
sa valeur
on aura
![{\displaystyle {\rm {M}}={\frac {4\pi a^{3}}{3}}+\alpha a^{3}\iint yd\mu d\varpi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8258d5923c912c611f098e334cb3df942aa4f7ba)
Il ne s’agit donc que de substituer pour
sa valeur
et d’effectuer ensuite les intégrations. Voici pour cet objet un théorème général et fort utile dans cette analyse :