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9. Supposons d’abord le point attiré extérieur au sphéroïde. Si l’on réduit ${\rm {V}}$ en série, elle doit être dans ce cas descendante par rapport aux puissances de $r,$ et par conséquent de cette forme

${\rm {V}}={\frac {{\rm {U}}^{(0)}}{r}}+{\frac {{\rm {U}}^{(1)}}{r}}^{2}+{\frac {{\rm {U}}^{(2)}}{r}}^{3}+{\frac {{\rm {U}}^{(3)}}{r}}^{4}+\ldots$

En substituant cette valeur de ${\rm {V}}$ dans l’équation (3) du numéro précédent, la comparaison des mêmes puissances de $r$ donnera, quel que soit $i,$

$0={\frac {\partial .\left(1-\mu ^{2}\right){\frac {\partial {\rm {U}}^{(i)}}{\partial \mu }}}{\partial \mu }}+{\frac {\frac {\partial ^{2}{\rm {U}}^{(i)}}{\partial \varpi ^{2}}}{1-\mu ^{2}}}+gec|up{\rm {U}}^{(i)}.$

Il est clair, par la seule expression intégrale de ${\rm {V}}$, que ${\rm {U}}^{(i)}$ est une fonction rationnelle et entière de $\mu ,{\sqrt {1-\mu ^{2}}}\sin \varpi$ et ${\sqrt {1-\mu ^{2}}}\cos \varpi ,$ dépendante de la nature du sphéroïde. Lorsque $i=0,$ cette fonction se réduit à une constante, et dans le cas de $i=1$ elle est de la forme

${\rm {H}}\mu +{\rm {H}}'{\sqrt {1-\mu ^{2}}}\sin \varpi +{\rm {H}}''{\sqrt {1-\mu ^{2}}}\cos \varpi ,$

${\rm {H,H',H''}}$ étant des constantes.

Pour déterminer généralement ${\rm {U}}^{(i)},$ nommons ${\rm {T}}$ le radical

${\frac {1}{\sqrt {r^{2}-2{\rm {R}}r\left[\cos \theta \cos \theta '+\sin \theta \sin \theta '\cos(\varpi '-\varpi )\right]-{\rm {R}}^{2}}}}\,;$

nous aurons

$0={\frac {\partial .\left(1-\mu ^{2}\right){\frac {\partial {\rm {T}}}{\partial \mu }}}{\partial \mu }}+{\frac {\frac {\partial ^{2}{\rm {T}}}{\partial \varpi ^{2}}}{1-\mu ^{2}}}+r{\frac {\partial ^{2}.r{\rm {T}}}{\partial r^{2}}}.$

Cette équation subsisterait encore, en y changeant $\theta$ en $\theta ',\ \varpi$ en $\varpi ',$ et réciproquement, parce que ${\rm {T}}$ est une pareille fonction de $\theta '$ et de $\varpi '$ que de $\theta$ et de $\varpi .$

Si l’on réduit ${\rm {T}}$ dans une suite descendante relativement à $r,$ on aura

${\rm {T}}={\frac {{\rm {Q}}^{(0)}}{r}}+{\rm {Q}}^{(1)}{\frac {\rm {R}}{r^{2}}}+{\rm {Q}}^{(2)}{\frac {\rm {R^{2}}}{r^{3}}}+{\rm {Q}}^{(3)}{\frac {\rm {R^{3}}}{r^{4}}}+\ldots$