![{\displaystyle a=r\cos \theta ,\qquad b=r\sin \theta \cos \varpi ,\qquad c=r\sin \theta \sin \varpi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/613c5714c7b288a7b9b40d08441b26d91cfd0b4e)
Si l’on nomme pareillement
et
ce que deviennent
et
relativement à la molécule
du sphéroïde, on aura
![{\displaystyle x={\rm {R}}\cos \theta ',\qquad y={\rm {R}}\sin \theta '\cos \varpi ',\qquad z={\rm {R}}\sin \theta '\sin \varpi '.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abb376b333d247057c0ed71d714c69ac7879dfc6)
D’ailleurs, la molécule
du sphéroïde est égale à un parallélépipède rectangle dont les dimensions sont
et par conséquent elle est égale à
étant sa densité ; on aura ainsi
![{\displaystyle {\rm {V}}=\iiint {\frac {\rho {\rm {R}}^{2}d{\rm {R}}d\theta 'd\varpi '\sin \theta '}{\sqrt {r^{2}-2r{\rm {R}}[\cos \theta \cos \theta '+\sin \theta \sin \theta '\cos(\varpi '-\varpi )]+{\rm {R}}^{2}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca8c1f2036654cdbad85a23f1cefd94fed419371)
l’intégrale relative à
devant être prise depuis
jusqu’à la valeur de
à la surface du sphéroïde ; l’intégrale relative à
devant être prise depuis
jusqu’à
égal à la circonférence, et l’intégrale relative à
devant être prise depuis
jusqu’à
égal à la demi-circonférence. En différenciant cette expression de
on trouvera
(2)
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équation qui n’est que l’équation (1) transformée.
Si l’on fait
on peut lui donner cette forme,
(3)
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Nous sommes déjà parvenus à ces diverses équations dans le second Livre, no 11.