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Concevons que l’inclinaison $\theta$ du plan de l’anneau sur le plan de l’équateur soit très-petite, en sorte que l’on puisse négliger son carré, ce qui revient à supposer $\sin \theta =0,\ \cos \theta =1\,;$ prenons ensuite pour l’axe des $x'$ l’intersection même du plan de l’anneau avec celui de l’équateur de Saturne ; cela posé, les valeurs de $x',y',z'$ du n^o 26 du Livre I deviendront

${\begin{aligned}x'&=x''\cos \varphi -y''\sin \varphi ,\\y'&=x''\sin \varphi +y''\cos \varphi +z''\theta ,\\z'&=z''-y''\theta \cos \varphi -x''\theta \sin \varphi ,\end{aligned}}$

d’où l’on tirera, par le même numéro,

${\begin{aligned}{\frac {d{\rm {N}}}{dt}}&=0,\\\\{\frac {d{\rm {N'}}}{dt}}&={\frac {\alpha \left(h-{\frac {1}{2}}\varphi '\right)}{r_{\text{ı}}^{'5}}}{\rm {(B-A)\theta \sin 2\varphi ,}}\\\\{\frac {d{\rm {N''}}}{dt}}&={\frac {\alpha \left(h-{\frac {1}{2}}\varphi '\right)}{r_{\text{ı}}^{'5}}}{\rm {(A+B-2C)}}\theta -{\frac {\alpha \left(h-{\frac {1}{2}}\varphi '\right)}{r_{\text{ı}}^{'5}}}{\rm {(B-A)\theta \cos 2\varphi .}}\end{aligned}}$

Considérons présentement les valeurs de ${\frac {d{\rm {N}}}{dt}},{\frac {d{\rm {N'}}}{dt}}$ et de ${\frac {d{\rm {N''}}}{dt}},$ relatives à l’action d’un astre quelconque ${\rm {L}}$, éloigné de l’anneau. En nommant ${\rm {X'',Y'',Z''}}$ les trois coordonnées de cet astre, rapportées au centre de gravité de l’anneau et parallèles à ses trois axes principaux, et $r''$ sa distance à ce point, on aura, par le n^o 3, en rapportant les valeurs de $d{\rm {N}},d{\rm {N'}}$ et de $d{\rm {N''}}$ aux mêmes coordonnées,

${\begin{aligned}{\frac {d{\rm {N}}}{dt}}&={\frac {3{\rm {L}}}{r^{''5}}}{\rm {(B-A)X''Y'',}}\\\\{\frac {d{\rm {N'}}}{dt}}&={\frac {3{\rm {L}}}{r^{''5}}}{\rm {(C-A)X''Z'',}}\\\\{\frac {d{\rm {N''}}}{dt}}&={\frac {3{\rm {L}}}{r^{''5}}}{\rm {(C-B)Y''Z''.}}\end{aligned}}$

Nous pouvons supposer sans erreur sensible, dans ces expressions, que l’origine des coordonnées ${\rm {X'',Y'',Z''}}$ est au centre même de Saturne,