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tivement au centre de gravité de l’anneau, on a, par le n^o 3,

${\begin{aligned}{\frac {d{\rm {N}}}{dt}}&=\int dm\left(x'{\frac {\partial {\rm {V}}}{\partial y'}}-y'{\frac {\partial {\rm {V}}}{\partial x'}}\right),\\\\{\frac {d{\rm {N'}}}{dt}}&=\int dm\left(x'{\frac {\partial {\rm {V}}}{\partial z'}}-z'{\frac {\partial {\rm {V}}}{\partial x'}}\right),\\\\{\frac {d{\rm {N''}}}{dt}}&=\int dm\left(y'{\frac {\partial {\rm {V}}}{\partial z'}}-z'{\frac {\partial {\rm {V}}}{\partial y'}}\right).\end{aligned}}$

Pour déterminer ${\rm {V}}$, nous ferons abstraction de la largeur de l’anneau, que nous considérerons ainsi comme une ligne circulaire d’inégale densité dans les diverses parties de sa circonférence, et dont le centre est à très-peu près celui de Saturne. En désignant par ${\rm {X,Y,Z}}$ les coordonnées du centre de gravité de l’anneau, rapportées au centre de Saturne, ${\rm {X}}+x',\ {\rm {Y}}+y',\ {\rm {Z}}+z'$ seront les coordonnées de la molécule $dm$, rapportées au même centre. Si l’on prend pour le plan des $x'$ et des $y'$ celui de l’équateur de Saturne, que nous supposerons d’abord invariable, on aura

$r'={\sqrt {({\rm {X}}+x')^{2}+({\rm {Y}}+y')^{2}+({\rm {Z}}+z')^{2}}},\qquad \mu ={\frac {{\rm {Z}}+z'}{r'}}.$

Nommons $x,y,z$ les coordonnées du centre de la circonférence de l’anneau, rapportées au centre de Saturne ; ces coordonnées étant supposées assez petites pour que l’on puisse négliger leurs carrés et leurs produits par $\alpha$, on aura

$r'=r'_{\text{ı}}+{\frac {x_{\text{ı}}({\rm {X}}+x')+y_{\text{ı}}({\rm {Y}}+y')+z_{\text{ı}}({\rm {Z}}+z')}{r'_{\text{ı}}}},$

$r'_{\text{ı}}$ étant le rayon de la circonférence de l’anneau ; si l’on observe ensuite que l’on a, par la nature du centre de gravité de l’anneau, $\int x'dm=0,\ \int y'dm=0,$$\int z'dm=0,$ on aura

${\begin{aligned}{\frac {d{\rm {N}}}{dt}}&=0,\\\\{\frac {d{\rm {N'}}}{dt}}&=-{\frac {2\alpha \left(h-{\frac {1}{2}}\varphi '\right)}{r_{\text{ı}}^{'5}}}\int x'z'dm,\\\\{\frac {d{\rm {N''}}}{dt}}&=-{\frac {2\alpha \left(h-{\frac {1}{2}}\varphi '\right)}{r_{\text{ı}}^{'5}}}\int y'z'dm.\end{aligned}}$