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toutes les molécules de Saturne divisées par leurs distances respectives à une molécule quelconque $dm$ de l’anneau ; soient $r'$ le rayon qui joint cette molécule au centre de Saturne, et $\mu$ le cosinus de l’angle que ce rayon forme avec l’axe de rotation de Saturne. Représentons par

$1+\alpha {\rm {Y}}^{(2)}+\alpha {\rm {Y}}^{(3)}+\alpha {\rm {Y}}^{(4)}+\ldots$

le rayon du sphéroïde de Saturne, et par $\alpha \varphi '$ le rapport de la force centrifuge à la pesanteur à son équateur ; la masse de Saturne étant prise pour unité, on aura, par le n^o 35 du  Livre III,

${\rm {V}}={\frac {1}{r'}}+{\frac {\alpha \left[{\rm {Y}}^{(2)}+{\frac {1}{2}}\varphi '\left(\mu ^{2}-{\frac {1}{3}}\right)\right]}{r^{'3}}}+{\frac {\alpha {\rm {Y}}^{(2)}}{r^{'4}}}+{\frac {\alpha {\rm {Y}}^{(4)}}{r^{'5}}}+\ldots .$

Cette valeur de ${\rm {V}}$ se réduit à peu près à ses deux premiers termes, si $r'$ est un peu grand relativement au rayon du sphéroïde de Saturne, pris ici pour unité de distance. D’ailleurs, si cette planète est un sphéroïde de révolution, comme il est naturel de le supposer, on a ${\rm {Y}}^{(2)}=0,\ {\rm {Y}}^{(4)}=0,\ldots ,$ ce qui rend exacte la réduction de ${\rm {V}}$ à ses deux premiers termes ; on peut donc supposer

${\rm {V}}={\frac {1}{r'}}+{\frac {\alpha {\rm {Y}}^{(2)}+{\frac {1}{2}}\alpha \varphi '\left(\mu ^{2}-{\frac {1}{3}}\right)}{r^{'3}}}.$

La fonction ${\rm {Y}}^{(2)}$ se réduit, comme on l’a vu dans le n^o 2, à cette forme

${\rm {Y}}^{(2)}=h\left({\frac {1}{3}}-\mu ^{2}\right)+h^{\rm {iv}}\left(1-\mu ^{2}\right)\cos 2\varpi .$

Si Saturne est un solide de révolution, $h^{\rm {iv}}$ est nul ; mais, dans le cas même où cette quantité serait comparable à $h$, il est facile de s’assurer que son influence sur les mouvements de l’anneau est insensible, à cause de la rapidité du mouvement de rotation de Saturne. Nous supposerons donc $h^{\rm {iv}}=0,$ et par conséquent

${\rm {V}}={\frac {1}{r'}}-{\frac {\left(\alpha h-{\frac {1}{2}}\alpha \varphi '\right)\left(\mu ^{2}-{\frac {1}{3}}\right)}{r^{'3}}}.$

$\alpha h$ étant évidemment l’aplatissement de Saturne.

Maintenant, $x',y',z'$ étant les coordonnées de la molécule $dm$ rela-