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on aura, cela posé, en observant que, par le n^o 32, ${\rm {Y}}^{(2)}$ est de la forme $-h\left(\mu ^{2}-{\frac {1}{3}}\right)+h^{\rm {iv}}\left(1-\mu ^{2}\right)\cos 2\varpi ,$

(i)

$\left\{{\begin{aligned}\alpha \int \rho d\left(a^{5}{\rm {Y}}^{(2)}\right)&={\frac {5}{3}}\left(\alpha h-{\frac {5\lambda '}{4r_{\text{ı}}^{3}}}\right)\left({\frac {1}{3}}-\mu ^{2}\right)\int \rho d.a^{3}\\\\&+{\frac {5}{3}}\left(\alpha h^{\rm {iv}}-{\frac {3\lambda '}{4r_{\text{ı}}^{3}}}\right)\left(1-\mu ^{2}\right)\cos 2\varpi \int \rho d.a^{3}\,;\end{aligned}}\right.$

on aura donc

${\begin{aligned}{\rm {\frac {B-A}{C}}}&={\frac {10}{3}}\left(\alpha h^{\rm {iv}}-{\frac {3\lambda '}{4r_{\text{ı}}^{3}}}\right){\frac {\int \rho d.a^{3}}{\int \rho d.a^{5}}},\\\\{\rm {\frac {C-A}{A}}}&={\frac {5}{3}}\left(\alpha h+\alpha h^{\rm {iv}}-{\frac {2\lambda '}{r_{\text{ı}}^{3}}}\right){\frac {\int \rho d.a^{3}}{\int \rho d.a^{5}}}.\end{aligned}}$

Dans le cas de la Lune homogène, l’équation (1) donne

$\alpha {\rm {Y}}^{(2)}={\frac {5}{3}}\left(\alpha h-{\frac {5\lambda '}{4r_{\text{ı}}^{3}}}\right)\left({\frac {1}{3}}-\mu ^{2}\right)+{\frac {5}{3}}\left(\alpha h^{\rm {iv}}-{\frac {3\lambda '}{4r_{\text{ı}}^{3}}}\right)\left(1-\mu ^{2}\right)\cos 2\varpi \,;$

en comparant cette expression à celle-ci

$\alpha {\rm {Y}}^{(2)}=\alpha h\left({\frac {1}{3}}-\mu ^{2}\right)+\alpha h^{\rm {iv}}\left(1-\mu ^{2}\right)\cos 2\varpi ,$

on aura

$\alpha h={\frac {25\lambda '}{8r_{\text{ı}}^{3}}},\qquad \alpha h^{\rm {iv}}={\frac {15\lambda '}{8r_{\text{ı}}^{3}}}={\frac {3}{5}}\alpha h.$

On peut observer ici que $\alpha h+\alpha h^{\rm {iv}}$ exprime l’excès du premier demi-axe principal, dirigé vers la Terre, sur le demi-axe du pôle, et que $\alpha h-\alpha h^{\rm {iv}}$ exprime l’excès du second demi-axe principal sur le demi-axe du pôle ; dans le cas de l’homogénéité ces excès sont ${\frac {40\lambda '}{8r_{\text{ı}}^{3}}}$ et ${\frac {10\lambda '}{8r_{\text{ı}}^{3}}}\,;$ le premier est donc quadruple du second. On a, dans ce même cas,

${\rm {\frac {B-A}{C}}}={\frac {15\lambda '}{4r_{\text{ı}}^{3}}},\qquad {\rm {\frac {C-A}{A}}}={\frac {5\lambda '}{4r_{\text{ı}}^{3}}}\,;$

${\frac {1}{r_{\text{ı}}}}$ est le demi-diamètre apparent de la Lune, dont nous avons pris le demi-diamètre réel pour unité, et, suivant les observations, ce demi-