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termes,

${\begin{aligned}&{\frac {d{\rm {N'\sin \varphi +d{\rm {N''\cos \varphi }}}}}{dt}}=\iint \alpha \gamma d\mu d\varpi {\sqrt {1-\mu ^{2}}}\sin(\varphi +\varpi ){\frac {\partial f}{\partial \mu }},\\&{\frac {d{\rm {N'\cos \varphi -d{\rm {N''\sin \varphi }}}}}{dt}}=\iint \alpha \gamma d\mu d\varpi {\sqrt {1-\mu ^{2}}}\cos(\varphi +\varpi ){\frac {\partial f}{\partial \mu }}.\end{aligned}}$

Considérons présentement les parties de ${\frac {d{\rm {N}}'}{dt}}$ et de ${\frac {d{\rm {N}}''}{dt}}$ qui dépendent d’angles très-peu différents de $nt.$ On a

${\begin{aligned}{\frac {d{\rm {N'\sin \varphi +d{\rm {N''\cos \varphi }}}}}{dt}}&=\iint \alpha \gamma d\mu d\varpi {\sqrt {1-\mu ^{2}}}\sin(\varphi +\varpi )\left(g{\frac {\partial y}{\partial \mu }}-{\frac {\partial {\rm {U}}}{\partial \mu }}\right)\\&-\iint \alpha \gamma d\mu d\varpi {\frac {\mu }{\sqrt {1-\mu ^{2}}}}\cos(\varphi +\varpi )\left(g{\frac {\partial y}{\partial \varpi }}-{\frac {\partial {\rm {U}}}{\partial \varpi }}\right)\\&-\iint \alpha n^{2}yd\mu d\varpi .\mu {\sqrt {1-\mu ^{2}}}\sin(\varphi +\varpi ).\end{aligned}}$

La première des équations (I) donne

$\iint \alpha n^{2}yd\mu d\varpi .\mu {\sqrt {1-\mu ^{2}}}\sin(\varphi +\varpi )$

$=\iint \alpha n^{2}d\mu d\varpi .\mu {\sqrt {1-\mu ^{2}}}\sin(\varphi +\varpi )\left({\frac {\partial .\gamma u{\sqrt {1-\mu ^{2}}}}{\partial \mu }}-{\frac {\partial .\gamma v}{\partial \varpi }}\right).$

En intégrant depuis $\mu =-1$ jusqu’à $\mu =1,$ on a

$\int \mu d\mu {\sqrt {1-\mu ^{2}}}{\frac {\partial .\gamma u{\sqrt {1-\mu ^{2}}}}{\partial \mu }}=-\int \gamma ud\mu \left(1-2\mu ^{2}\right)\,;$

on a pareillement, en intégrant depuis $\varpi =0$ jusqu’à $\varpi$ égal à quatre angles droits,

$\int d\varpi \sin(\varphi +\varpi ){\frac {\partial .\gamma v}{\partial \varpi }}=-\int \gamma vd\varpi \cos(\varphi +\varpi )\,;$

partant,

${\begin{aligned}&\iint \alpha n^{2}yd\mu d\varpi .\mu {\sqrt {1-\mu ^{2}}}\sin(\varphi +\varpi )=\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad -\iint \alpha n^{2}\gamma ud\mu d\varpi \left(1-2\mu ^{2}\right)\sin(\varphi +\varpi )\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad +\iint \alpha n^{2}\gamma vd\mu d\varpi .\mu {\sqrt {1-\mu ^{2}}}\cos(\varphi +\varpi ).\end{aligned}}$

On peut supposer $\gamma u$ développé dans une suite de termes de la forme ${\rm {H}}\cos(it+s\varpi +\varepsilon ),\ {\rm {H}}$ étant fonction de $\mu$ seul, et $s$ étant un nombre