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on aura, par les n^o 3 et 4 du Livre IV, les trois équations suivantes

(I)

$\left\{{\begin{aligned}y&={\frac {\partial .\gamma u{\sqrt {1-\mu ^{2}}}}{\partial \mu }}-{\frac {\partial .\gamma v}{\partial \varpi }},\\\\{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}-2n{\frac {\partial v}{\partial t}}\mu {\sqrt {1-\mu ^{2}}}&=\left(g{\frac {\partial y}{\partial \mu }}-{\frac {\partial {\rm {U}}}{\partial \mu }}-{\frac {\partial f}{\partial \mu }}\right){\sqrt {1-\mu ^{2}}},\\\\{\frac {\partial ^{2}v}{\partial t^{2}}}+2n{\frac {\partial u}{\partial t}}{\frac {\mu }{\sqrt {1-\mu ^{2}}}}&=-{\frac {g{\frac {\partial y}{\partial \varpi }}-{\frac {\partial {\rm {U}}}{\partial \varpi }}-{\frac {\partial f}{\partial \varpi }}}{\sqrt {1-\mu ^{2}}}}.\end{aligned}}\right.$

Si l’on ne considère que les angles croissant avec une extrême lenteur ou indépendants de $\varphi ,$ il est visible que la partie de $f$ relative à ces angles est indépendante de $\varpi \,;$ les parties de $y$ et de ${\rm {U}}$ relatives aux mêmes angles seront donc elles-mêmes indépendantes de $\varpi ,$ en sorte qu’en ne considérant que ces termes, on aura

${\frac {\partial f}{\partial \varpi }}=0,\qquad {\frac {\partial y}{\partial \varpi }}=0,\qquad {\frac {\partial {\rm {U}}}{\partial \varpi }}=0,$

et par conséquent

${\begin{aligned}&{\frac {d{\rm {N}}}{dt}}=0,\\&{\frac {d{\rm {N'}}}{dt}}\sin \varphi +{\frac {d{\rm {N''}}}{dt}}\cos \varphi =\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \iint \alpha \gamma d\mu d\varpi {\sqrt {1-\mu ^{2}}}\sin(\varphi +\varpi )\left(g{\frac {\partial y}{\partial \mu }}-{\frac {\partial {\rm {U}}}{\partial \mu }}\right),\\&{\frac {d{\rm {N'}}}{dt}}\cos \varphi -{\frac {d{\rm {N''}}}{dt}}\sin \varphi =\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \iint \alpha \gamma d\mu d\varpi {\sqrt {1-\mu ^{2}}}\cos(\varphi +\varpi )\left(g{\frac {\partial y}{\partial \mu }}-{\frac {\partial {\rm {U}}}{\partial \mu }}\right).\end{aligned}}$

On a vu, dans le n^o 6 du Livre IV, que, relativement aux termes croissant avec une extrême lenteur, on peut supposer, à très-peu près,

$0=g{\frac {\partial y}{\partial \mu }}-{\frac {\partial {\rm {U}}}{\partial \mu }}-{\frac {\partial f}{\partial \mu }}.$

Cette équation est d’autant plus exacte que ces termes varient avec plus de lenteur, et qu’ils ont, par conséquent, plus d’influence sur les mouvements de l’axe de la Terre ; on a donc, relativement à ces