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grant par rapport à $\varpi ,$ on a

$\int \alpha gyd\varpi {\frac {\partial \gamma }{\partial \varpi }}=\alpha gy\gamma -\int \alpha g\gamma d\varpi {\frac {\partial y}{\partial \varpi }}+{\rm {const.\,;}}$

or il est clair qu’aux deux limites de l’intégrale, où $\varpi =0$ et $\varpi$ est égal à quatre angles droits, la fonction $\alpha gy\gamma$ est la même, puisque ces deux limites appartiennent au même point de la surface du sphéroïde ; on a donc $\alpha gy\gamma +const=0,$ et par conséquent

$\iint \alpha gyd\mu d\varpi {\frac {\partial \gamma }{\partial \varpi }}=-\iint \alpha g\gamma d\mu d\varpi {\frac {\partial y}{\partial \varpi }}.$

En intégrant par rapport à $\mu ,$ on a

${\begin{aligned}\int \alpha gyd\mu {\frac {\partial \gamma }{\partial \mu }}{\sqrt {1-\mu ^{2}}}\sin \varpi =&\alpha gy\gamma {\sqrt {1-\mu ^{2}}}\sin \varpi +\int \alpha gy\gamma {\frac {\mu d\mu \sin \varpi }{\sqrt {1-\mu ^{2}}}}\\&-\int \alpha g\gamma d\mu {\frac {\partial y}{\partial \mu }}{\sqrt {1-\mu ^{2}}}\sin \varpi +{\rm {const.}}\end{aligned}}$

L’intégrale doit être prise depuis $\mu =-1$ jusqu’à $\mu =1$ ; or $y$ et $\gamma$ ne sont jamais infinis ; ainsi, le radical ${\sqrt {1-\mu ^{2}}}$ étant nul à ces limites, on a à ces mêmes limites

$\alpha gy\gamma {\sqrt {1-\mu ^{2}}}\sin \varpi +{\rm {const.=0,}}$

et, par conséquent,

${\begin{aligned}\iint \alpha gyd\mu d\varpi {\frac {\partial \gamma }{\partial \mu }}{\sqrt {1-\mu ^{2}}}\sin \varpi =&\iint \alpha gy\gamma {\frac {\mu d\mu d\varpi \sin \varpi }{\sqrt {1-\mu ^{2}}}}\\&-\iint \alpha g\gamma d\mu d\varpi {\frac {\partial y}{\partial \mu }}{\sqrt {1-\mu ^{2}}}\sin \varpi .\end{aligned}}$

On trouve encore, en intégrant par rapport à $\varpi ,$

${\begin{aligned}\iint \alpha gyd\mu d\varpi {\frac {\mu \cos \varpi }{\sqrt {1-\mu ^{2}}}}{\frac {\partial \gamma }{\partial \varpi }}=&-\iint \alpha g\gamma d\mu d\varpi {\frac {\mu \cos \varpi }{\sqrt {1-\mu ^{2}}}}{\frac {\partial y}{\partial \varpi }}\\&+\iint \alpha gy\gamma d\mu d\varpi {\frac {\mu \sin \varpi }{\sqrt {1-\mu ^{2}}}}\,;\end{aligned}}$