Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 2.djvu/350

d’où l’on tire

${\begin{aligned}{\rm {XY}}&={\frac {r_{\text{ı}}^{2}}{2}}\cos ^{4}{\frac {\gamma }{2}}\sin 2\nu +{\frac {r_{\text{ı}}^{2}}{4}}\sin ^{2}\gamma \sin 2\Lambda -{\frac {r_{\text{ı}}^{2}}{2}}\sin ^{4}{\frac {\gamma }{2}}\sin(2\nu -4\Lambda ),\\{\rm {XZ}}&={\frac {r_{\text{ı}}^{2}}{2}}\sin \gamma \cos ^{2}{\frac {\gamma }{2}}\sin(2\nu -\Lambda )-{\frac {r_{\text{ı}}^{2}}{4}}\sin 2\gamma \sin \Lambda \\&\qquad \qquad \qquad \qquad +{\frac {r_{\text{ı}}^{2}}{2}}\sin \gamma \sin ^{2}{\frac {\gamma }{2}}\sin(2\nu -3\Lambda ).\end{aligned}}$

Vu l’extrême lenteur du mouvement des points équinoxiaux, on peut supposer $d\nu$ égal au mouvement angulaire du Soleil pendant l’instant $dt$, et l’on a, par les n^o 19 et 20 du Livre II,

$r_{\text{ı}}^{2}d\nu =a^{2}mdt{\sqrt {1-e^{2}}},$

$mt$ étant le moyen mouvement du Soleil, $a$ étant sa moyenne distance à la Terre, et $e$ étant le rapport de l’excentricité de son orbite à cette distance moyenne. On a de plus, par le n^o 20 du même Livre, en négligeant les masses des planètes relativement à celle du Soleil, ${\frac {\rm {L}}{a^{3}}}=m^{2},$ et l’équation à l’ellipse donne

${\frac {a}{r_{\text{ı}}}}={\frac {1+e\cos(\nu -\Gamma )}{1-e^{2}}}\,;$

$\Gamma$ étant la longitude du périgée solaire ; on aura donc, relativement au Soleil,

${\begin{aligned}P'dt&={\frac {3{\rm {L}}dt}{r_{\text{ı}}^{5}}}{\rm {(XY\sin \theta +XZ\cos \theta )}}\\&={\frac {3md\nu \left[1+e\cos(\nu -\Gamma )\right]}{\left(1-e^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\left({\frac {\rm {XY}}{r_{\text{ı}}^{2}}}\sin \theta +{\frac {\rm {XZ}}{r_{\text{ı}}^{2}}}\cos \theta \right).\end{aligned}}$

Si l’on substitue pour ${\frac {\rm {XY}}{r_{\text{ı}}^{2}}}$ et ${\frac {\rm {XZ}}{r_{\text{ı}}^{2}}}$ leurs valeurs précédentes en $\nu ,$ on verra d’abord, après avoir développé ${\rm {P}}'dt$ en sinus de l’angle $\nu$ et de ses multiples, que les termes dépendants de la longitude $\Gamma$ du périgée solaire renferment l’angle $\nu ,$ et qu’ainsi ils ne peuvent pas devenir sensibles par l’intégration. Il n’en est pas de même des termes dépendants de la longitude du nœud : la fonction ${\frac {\rm {XZ}}{r_{\text{ı}}^{2}}}$ introduit dans ${\rm {P}}'dt$