Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 2.djvu/348

Les expressions précédentes de $qdt$ et de $rdt$ donnent

$d\psi \sin \theta =rdt\cos \varphi +qdt\sin \varphi ,$

d’où l’on tire

${\frac {d\psi }{dt}}\sin \theta ={\rm {\frac {M'-M}{2}}}\cos(2\varphi +it+\varepsilon )+{\rm {\frac {N'-N}{2}}}\cos(2\varphi -it-\varepsilon )$

$+{\rm {\frac {M+M'+N+N'}{2}}}\cos(it+\varepsilon )\,;$

en négligeant les deux premiers termes de cette expression, qui sont toujours insensibles, et en supposant $i$ fort petit, on aura, à très-peu près,

${\frac {d\psi }{dt}}\sin \theta ={\frac {\rm {2C-A-B}}{2n{\rm {C}}}}k\cos(it+\varepsilon ).$

Si l’on désigne par $\Sigma k\cos(it+\varepsilon )$ la somme des termes dans lesquels ${\rm {P}}$ peut se développer, et par $\Sigma k'\sin(it+\varepsilon )$ la somme des termes dans lesquels ${\rm {P'}}$ peut se développer, $\Sigma$ étant la caractéristique des intégrales finies, on aura

(H)

$\left\{{\begin{aligned}{\frac {d\theta }{dt}}&={\frac {\rm {A+B-2C}}{2n{\rm {C}}}}\Sigma k'\sin(it+\varepsilon ),\\{\frac {d\psi }{dt}}\sin \theta &={\frac {\rm {2C-A-B}}{2n{\rm {C}}}}\Sigma k\cos(it+\varepsilon ).\end{aligned}}\right.$

En intégrant ces équations sans avoir égard aux constantes arbitraires, on aura les parties de $\theta$ et de $\psi$ qui dépendent de l’action de l’astre {\rm L}. Pour avoir les valeurs complètes de ces variables, il faut leur ajouter les quantités qui dépendent de l’état initial du mouvement. Si l’on n’a égard qu’à cet état, les deux dernières des équations (G) deviennent

$dq+{\rm {\frac {C-B}{A}}}nrdt=0,\qquad dr+{\rm {\frac {A-C}{B}}}nqdt=0,$

d’où l’on tire, en intégrant,

${\begin{aligned}q&={\rm {G}}\sin(\lambda t+{\text{ϐ}}),\\r&={\frac {\lambda {\rm {A}}}{n{\rm {(B-C)}}}}{\rm {G}}\cos(\lambda t+{\text{ϐ}}),\end{aligned}}$