on aura, en observant que
est à très-peu près égal à ![{\displaystyle ndt,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ebef6a93672d5efa963160dc335c961ea8fce6b)
![{\displaystyle {\begin{aligned}M&={\frac {{\frac {k+k'}{2}}{\rm {(C-B)}}\left[n{\rm {(A+B-C)}}+i{\rm {B}}\right]}{(n+i)^{2}{\rm {AB}}-n^{2}{\rm {(A-C)(B-C)}}}},\\\\M'&={\frac {{\frac {k+k'}{2}}{\rm {(C-A)}}\left[n{\rm {(A+B-C)}}+i{\rm {A}}\right]}{(n+i)^{2}{\rm {AB}}-n^{2}{\rm {(A-C)(B-C)}}}},\\\\N&={\frac {{\frac {k-k'}{2}}{\rm {(C-B)}}\left[n{\rm {(A+B-C)}}-i{\rm {B}}\right]}{(n-i)^{2}{\rm {AB}}-n^{2}{\rm {(A-C)(B-C)}}}},\\\\N'&={\frac {{\frac {k-k'}{2}}{\rm {(C-A)}}\left[n{\rm {(A+B-C)}}-i{\rm {A}}\right]}{(n-i)^{2}{\rm {AB}}-n^{2}{\rm {(A-C)(B-C)}}}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3062e561bf76141b6ca1e6e816099bd0826aa1e9)
Reprenons maintenant les équations du no 26 du Livre I,
![{\displaystyle {\begin{aligned}&d\varphi -d\psi \cos \theta =pdt,\\&d\psi \sin \theta \sin \varphi -d\theta \cos \varphi =qdt,\\&d\psi \sin \theta \cos \varphi +d\theta \sin \varphi =rdt.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/079f0387fae40abdddc261081327e8d6506d3e51)
Ces équations donnent
![{\displaystyle d\theta =rdt\sin \varphi -qdt\cos \varphi \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6297fc2fe0f378786f11b1d07bd2bf59b438bdf)
on aura donc
![{\displaystyle {\frac {d\theta }{dt}}={\rm {\frac {M'-M}{2}}}\sin(2\varphi +it+\varepsilon )+{\rm {\frac {N'-N}{2}}}\sin(2\varphi -it-\varepsilon )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d060d490d8af6584a2c4ec13a6f3a6f901a013fb)
![{\displaystyle +{\rm {\frac {N+N'-M-M'}{2}}}\sin(it+\varepsilon ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bca39edf8139f31176e3a5b07ad4762a39e1fc4d)
Nous pouvons négliger les deux premiers termes de cette expression de
parce qu’ils sont insensibles en eux-mêmes, et que d’ailleurs ils n’augmentent point par l’intégration. Il n’en est pas ainsi du troisième terme, que l’intégration peut rendre sensible, si
est fort petit. Dans ce cas, on peut négliger
relativement à
et l’on a, à fort peu près,
![{\displaystyle {\frac {d\theta }{dt}}={\frac {\rm {A+B-2C}}{2n{\rm {C}}}}k'\sin(it+\varepsilon ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0115e2e63340ec197e2948778b6987e778a0c985)