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Ces équations supposent que $r$ est fort grand par rapport au rayon du sphéroïde terrestre, ce qui est vrai relativement au Soleil et à la Lune ; mais il est remarquable qu’elles seraient encore très-approchées dans le cas où, l’astre attirant étant fort près de la Terre, la figure de cette planète serait elliptique. Pour le faire voir, nous observerons que l’on a, par le n^o 2,

$x'={\rm {R{\sqrt {1-\mu ^{2}}}\cos \varpi ,\qquad y'={\rm {R{\sqrt {1-\mu ^{2}}}\sin \varpi ,\qquad z'={\rm {R\mu .}}}}}}$

Si l’on nomme $\nu$ et $\lambda$ ce que deviennent, par rapport à l’astre ${\rm {L}}$, les quantités $\mu$ et $\varpi$ relatives à la molécule $dm$ du sphéroïde terrestre, on aura

$x=r_{\text{ı}}{\sqrt {1-\nu ^{2}}}\cos \lambda ,\qquad y=r_{\text{ı}}{\sqrt {1-\nu ^{2}}}\sin \lambda ,\qquad z=r_{\text{ı}}\nu \,;$

si l’on substitue ces valeurs dans la fonction ${\rm {V}}$, et qu’en suite on la développe par rapport aux puissances de ${\frac {\rm {R}}{r_{\text{ı}}}},$ on aura une série de cette forme

${\frac {\rm {L}}{r_{\text{ı}}}}+{\frac {\rm {LR^{2}}}{r_{\text{ı}}^{3}}}{\rm {U}}^{(2)}+{\frac {\rm {LR^{3}}}{r_{\text{ı}}^{4}}}{\rm {U}}^{(3)}+\ldots ,$

et il est facile de s’assurer, par le n^o 23 du Livre III, que les fonctions ${\rm {U}}^{(2)},{\rm {U}}^{(3)},\ldots$ sont des fonctions telles que l’on a généralement

$0={\frac {\partial .\left(1-\mu ^{2}\right){\frac {\partial {\rm {U}}^{(i)}}{\partial \mu }}}{\partial \mu }}+{\frac {\frac {\partial ^{2}{\rm {U}}^{(i)}}{\partial \varpi ^{2}}}{1-\mu ^{2}}}+i(i+1){\rm {U}}^{(i)}.$

Reprenons maintenant l’équation

${\frac {d{\rm {N}}}{dt}}=\int dm\left(y{\frac {\partial {\rm {V}}}{\partial x}}-x{\frac {\partial {\rm {V}}}{\partial y}}\right)\,;$

on aura

${\begin{aligned}y{\frac {\partial {\rm {V}}}{\partial x}}-x{\frac {\partial {\rm {V}}}{\partial y}}&={\frac {\rm {LR^{2}}}{r_{\text{ı}}^{3}}}\left(y{\frac {\partial {\rm {U^{(2)}}}}{\partial x}}-x{\frac {\partial {\rm {U^{(2)}}}}{\partial y}}\right)\\\\&+{\frac {\rm {LR^{3}}}{r_{\text{ı}}^{4}}}\left(y{\frac {\partial {\rm {U^{(3)}}}}{\partial x}}-x{\frac {\partial {\rm {U^{(3)}}}}{\partial y}}\right)\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}$

Les différences partielles du second membre de cette équation étant