Les coordonnées
étant supposées très-petites relativement à la distance
de l’astre
au centre de gravité de la Terre, on peut développer
dans une suite fort convergente par rapport aux puissances réciproques de
; on aura ainsi, à fort peu près,
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d{\rm {N}}}{dt}}&={\frac {3{\rm {L}}}{r_{\text{ı}}^{5}}}\int dm(xx'+yy'+zz')(yx'-xy'),\\{\frac {d{\rm {N'}}}{dt}}&={\frac {3{\rm {L}}}{r_{\text{ı}}^{5}}}\int dm(xx'+yy'+zz')(zx'-xz'),\\{\frac {d{\rm {N''}}}{dt}}&={\frac {3{\rm {L}}}{r_{\text{ı}}^{5}}}\int dm(xx'+yy'+zz')(zy'-yz').\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/098c00aeadb6317e7abbac2721aca61e33130ae6)
On a vu, dans le no 28 du Livre I, que les valeurs de
sont indépendantes de la position du plan des
et des
; or, si nous prenons pour ce plan l’équateur même de la Terre, on aura
et si nous prenons pour l’axe des
le premier axe principal, nous aurons
; nous aurons de plus, par le no 26 du Livre I,
![{\displaystyle {\begin{array}{lll}\int dm\left(y^{'2}+z^{'2}\right)={\rm {A,}}&\int dm\left(x^{'2}+z^{'2}\right)={\rm {B,}}&\int dm\left(x^{'2}+y^{'2}\right)={\rm {C,}}\\\int x'y'dm=0,&\int x'z'dm=0,&\int y'z'dm=0\,;\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d292890ffc1cf56988f62d47300ab1f2cdf8bb8)
partant,
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d{\rm {N}}}{dt}}&={\frac {3{\rm {L}}}{r_{\text{ı}}^{5}}}({\rm {B-A}})xy,\\{\frac {d{\rm {N'}}}{dt}}&={\frac {3{\rm {L}}}{r_{\text{ı}}^{5}}}({\rm {C-A}})xz,\\{\frac {d{\rm {N''}}}{dt}}&={\frac {3{\rm {L}}}{r_{\text{ı}}^{5}}}({\rm {C-B}})yz\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb32d3c6f55bbaddfad196360954c5f82c81fa08)
les équations (D’) du no 1 deviendront ainsi
(F)
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