3. Considérons présentement les valeurs de
qui entrent dans les équations différentielles (D’) du no 1. Soit
la masse d’un astre qui agit sur la Terre ; soient
les coordonnées de son centre, rapportées au centre de gravité de la Terre, et
nommons
les coordonnées d’une molécule
du sphéroïde terrestre ; supposons enfin
![{\displaystyle {\rm {V}}=-{\rm {L}}{\frac {xx'+yy'+zz'}{r_{\text{ı}}^{3}}}+{\frac {\rm {L}}{\sqrt {(x'-x)^{2}+(y'-y)^{2}+(z'-z)^{2}}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea1037ca934e5232eccda34fbe9bdcddc1583370)
les forces attractives de
sur la molécule
, décomposées parallèlement aux axes des
des
et des
en sens opposé à leur origine, et diminuées des mêmes forces attractives sur le centre de gravité de la Terre, que nous considérons ici comme immobile, seront
Ces forces sont celles que nous avons désignées par
dans le no 25 du Livre I ; on aura donc, par ce même numéro,
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d{\rm {N}}}{dt}}&=\int dm\left(x'{\frac {\partial {\rm {V}}}{\partial y'}}-y'{\frac {\partial {\rm {V}}}{\partial x'}}\right),\\\\{\frac {d{\rm {N'}}}{dt}}&=\int dm\left(x'{\frac {\partial {\rm {V}}}{\partial z'}}-z'{\frac {\partial {\rm {V}}}{\partial x'}}\right),\\\\{\frac {d{\rm {N''}}}{dt}}&=\int dm\left(y'{\frac {\partial {\rm {V}}}{\partial z'}}-z'{\frac {\partial {\rm {V}}}{\partial y'}}\right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8793e860f1a48360dd4905b0403ba5f02a8393f)
Si l’on observe ensuite que l’on a
![{\displaystyle x'{\frac {\partial {\rm {V}}}{\partial y'}}-y'{\frac {\partial {\rm {V}}}{\partial x'}}=y{\frac {\partial {\rm {V}}}{\partial x}}-x{\frac {\partial {\rm {V}}}{\partial y}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af1221a3813aac1f76f4305801ff0d1141ac56f0)
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d{\rm {N}}}{dt}}&=\int dm\left(y{\frac {\partial {\rm {V}}}{\partial x}}-x{\frac {\partial {\rm {V}}}{\partial y}}\right),\\\\{\frac {d{\rm {N'}}}{dt}}&=\int dm\left(z{\frac {\partial {\rm {V}}}{\partial x}}-x{\frac {\partial {\rm {V}}}{\partial z}}\right),\\\\{\frac {d{\rm {N''}}}{dt}}&=\int dm\left(z{\frac {\partial {\rm {V}}}{\partial y}}-y{\frac {\partial {\rm {V}}}{\partial z}}\right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7aae0dd735e0f891a5e89b58aabbc510d44ba740)