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d’où il suit que, si l’on connaît ${\rm {V,}}$ il sera facile d’en conclure, par la seule différentiation, l’attraction du sphéroïde parallèlement à une droite quelconque, en considérant cette droite comme une des coordonnées rectangles du point attiré, remarque que nous avons déjà faite dans le second Livre, n^o 11.

La valeur précédente de ${\rm {V,}}$ réduite en série, devient

$V=\int {\frac {d{\rm {M}}}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}\times$

$\left\{{\begin{aligned}1&+{\frac {1}{2}}{\frac {2ax+2by+2cz-x^{2}-y^{2}-z^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}\\\\&+{\frac {3}{8}}{\frac {\left(2ax+2by+2cz-x^{2}-y^{2}-z^{2}\right)^{2}}{\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)^{2}}}+\ldots \end{aligned}}\right\}.$

Cette série est ascendante relativement aux dimensions du sphéroïde, et descendante relativement aux coordonnées du point attiré. Si l’on n’a égard qu’à son premier terme, ce qui suffit lorsque le point attiré est à une très-grande distance, on aura

${\rm {V}}={\frac {\rm {M}}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}},$

${\rm {M}}$ étant la masse entière du sphéroïde. Cette expression sera plus exacte encore, si l’on place l’origine des coordonnées au centre de gravité du sphéroïde ; car on a, par la propriété de ce centre,

$\int xd{\rm {M}}=0,\qquad \int yd{\rm {M}}=0,\qquad \int zd{\rm {M}}=0,$

en sorte que, si l’on considère comme une très-petite quantité du premier ordre le rapport des dimensions du sphéroïde à sa distance au point attiré, l’équation

${\rm {V}}={\frac {\rm {M}}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}$

sera exacte aux quantités près du troisième ordre. Nous allons présentement chercher une expression rigoureuse de ${\rm {V}}$ relativement aux sphéroïdes elliptiques.