des carrés
et
des demi-axes du sphéroïde, parallèles aux coordonnées
du point attiré ; en nommant donc
le carré du demi-axe parallèle à
et par conséquent
et
les carrés des deux autres demi-axes,
sera pareille fonction de
et
il faut ainsi, pour avoir
changer, dans l’expression de
en
en
ou
dans
et
dans
ce qui donne
![{\displaystyle {\rm {B}}={\frac {3b{\rm {M}}}{k^{3}}}\int {\frac {m^{\frac {3}{2}}x^{2}dx}{\sqrt {\left[1+(m-1)x^{2}\right]\left(1+{\frac {m-n}{n}}x^{2}\right)}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e5abc22725f13cb2e2ad068fbaa09460c67708f)
Soit
![{\displaystyle x={\frac {t}{\sqrt {m+(1-m)t^{2}}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c835dd003de27c201fd8723b40e175a19c55a2c1)
on aura
![{\displaystyle {\rm {B}}={\frac {3b{\rm {M}}}{k^{3}}}\int {\frac {t^{2}dt}{\left(1+{\frac {1-m}{m}}t^{2}\right)^{\frac {3}{2}}\left(1+{\frac {1-n}{n}}t^{2}\right)^{\frac {1}{2}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f0965d1cf71c69c161c5a4825e8c147adc13118)
l’intégrale relative à
devant être prise, comme l’intégrale relative à
depuis
jusqu’à
parce que
donne
et
donne ![{\displaystyle t=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/839972e1dee17ea08fef04e93702cba50751825b)
Il suit de là que, si l’on suppose
![{\displaystyle {\frac {1-m}{m}}=\lambda ^{2},\qquad {\frac {1-n}{n}}=\lambda '^{2},\qquad {\rm {F}}=\int {\frac {x^{2}dx}{\sqrt {\left(1+\lambda ^{2}x^{2}\right)\left(1+\lambda '^{2}x^{2}\right)}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/171b6c582796cf2e77833e1004172e0855060602)
on aura
![{\displaystyle {\rm {B}}={\frac {3b{\rm {M}}}{k^{3}}}{\frac {\partial .\lambda {\rm {F}}}{\partial \lambda }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9695851bddb4b851535fb3d7155c29bc90e633f)
Si l’on change dans cette expression
en
en
et réciproquement, on aura la valeur de
Les attractions
du sphéroïde, parallèlement à ses trois axes, sont ainsi données par les formules suivantes
![{\displaystyle {\rm {A}}={\frac {3a{\rm {M}}}{k^{3}}}{\rm {F}},\qquad {\rm {B}}={\frac {3b{\rm {M}}}{k^{3}}}{\frac {\partial .\lambda {\rm {F}}}{\partial \lambda }},\qquad {\rm {C}}={\frac {3c{\rm {M}}}{k^{3}}}{\frac {\partial .\lambda '{\rm {F}}}{\partial \lambda '}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a500d12abaad64c9274acf5cf656d7a7c154970)