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Vers le maximum des marées ou vers les syzygies, l’angle $\psi '-\psi$ est peu considérable, puisqu’il est nul au maximum ; on aura donc à peu près, à l’instant de la pleine mer, $nt+\varpi -\psi '=\lambda .$ En substituant cette valeur dans la fonction (A), on aura, dans la supposition où le temps $t$ doit être diminué de ${\rm {T}}$ dans cette fonction, comme dans la fonction multipliée par ${\rm {P}}$,

${\rm {(A)=-A}}\left({\frac {\rm {L}}{r^{3}}}\sin v\cos v+{\frac {\rm {L'}}{r'^{3}}}\sin v'\cos v'\right)\cos(\lambda -\gamma ).$

(A) étant très-petit, l’erreur de la supposition précédente doit être insensible. La fonction (A’) devient à très-peu près

${\rm {(A')=A}}\left({\frac {\rm {L}}{r^{3}}}\sin v\cos v+{\frac {\rm {L'}}{r'^{3}}}\sin v'\cos v'\right)\sin(\gamma -\lambda ).$

On peut même, vu la petitesse de ces fonctions,y supposer $\lambda =\gamma ,$ ce qui rend (A’) nul. Cela posé, si, dans les termes multipliés par ${\rm {P}}$ des expressions de $y'$ et de $y'',$ on néglige la quatrième puissance de $\psi '-\psi ,$ on aura, vers les syzygies,

${\begin{aligned}&y'=-{\frac {1+3\cos 2\theta }{8g\left(1-{\frac {3}{5\rho }}\right)}}\left[{\frac {\rm {L}}{r^{3}}}\left(1-3\sin ^{2}v\right)+{\frac {\rm {L'}}{r'^{3}}}\left(1-3\sin ^{2}v'\right)\right]\\\\&\qquad +{\rm {P}}\left({\frac {\rm {L}}{r^{3}}}\cos ^{2}v+{\frac {\rm {L'}}{r'^{3}}}\cos ^{2}v'\right)-{\frac {2{\rm {P}}{\frac {\rm {L}}{r^{3}}}\cos ^{2}v{\frac {\rm {L'}}{r'^{3}}}\cos ^{2}v'}{{\frac {\rm {L}}{r^{3}}}\cos ^{2}v{\frac {\rm {L'}}{r'^{3}}}\cos ^{2}v'}}\left[(\psi '-\psi )^{2}+{\frac {1}{4}}q^{2}\right],\\\\&y''={2{\rm {P}}}\left({\frac {\rm {L}}{r^{3}}}\cos ^{2}v+{\frac {\rm {L'}}{r'^{3}}}\cos ^{2}v'\right)-{\frac {4{\rm {P}}{\frac {\rm {L}}{r^{3}}}\cos ^{2}v{\frac {\rm {L'}}{r'^{3}}}\cos ^{2}v'}{{\frac {\rm {L}}{r^{3}}}\cos ^{2}v{\frac {\rm {L'}}{r'^{3}}}\cos ^{2}v'}}\left[(\psi '-\psi )^{2}+{\frac {1}{8}}q^{2}\right],\end{aligned}}$

$q$ étant la variation de l’arc $\psi '-\psi$ dans l’intervalle des deux pleines mers consécutives. L’addition des termes qui en dépendent est fondée sur ce que la véritable valeur de $(\psi '-\psi )^{2}$ de l’expression de $y'$ est la demi-somme des carrés $(\psi '-\psi )^{2}$ relatifs aux deux pleines mers consécutives, et il est facile de voir que cette demi-somme est égale à