d’où il suit que la partie de
relative aux oscillations de la seconde espèce est
![{\displaystyle -{\frac {{\frac {3{\rm {L}}}{r^{3}}}\sin v\cos v\cos(nt+\varpi -\psi )}{2lgq\left(1-{\frac {3}{5\rho }}\right)-n^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b64f5679e4d010759aeb43869cb8542fac976a0)
et que la partie de
relative aux mêmes oscillations est
![{\displaystyle {\frac {{\frac {3{\rm {L}}}{r^{3}}}{\frac {\cos \theta }{\sin \theta }}\sin v\cos v\sin(nt+\varpi -\psi )}{2lgq\left(1-{\frac {3}{5\rho }}\right)-n^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98450034293f9a34e4d8fa9e26ce7263a9b358a1)
Des oscillations de la troisième espèce.
9. La partie de l’action de l’astre
qui produit ces oscillations est, par le no 4, égale à
![{\displaystyle {\frac {3{\rm {L}}}{4r^{3}}}\sin ^{2}\theta \cos ^{2}v\cos(nt+\varpi -\psi ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74d60b1b4dffa2076c9ad4c0632b24e6ceae3781)
Le développement de cette fonction en cosinus d’angles croissant proportionnellement au temps donne une suite de termes de la forme
étant peu différent de ![{\displaystyle 2n.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21e85bad71f97a39b9abced77f06d46b44c97640)
Reprenons maintenant l’équation (4) du no 3, en y supposant
et
![{\displaystyle z={\frac {l\left(1-q\mu ^{2}\right)}{i^{2}-4n^{2}\mu ^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08a7b3f2bffbaaf12ac65bdfdcdf901f551baf03)
Supposons, de plus, que
soit exprimé par la suite
![{\displaystyle \left(1-\mu ^{2}\right)\left({\rm {P^{(0)}+P^{(2)}+P^{(4)}+\ldots +{\rm {P}}^{(2f-2)}}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/114aad6abee2de36711c46c142a0c37d955b77fc)
étant des fonctions rationnelles et entières de (
telles qu’en désignant par
la fonction
on ait
![{\displaystyle 0={\frac {\partial .\left(1-\mu ^{2}\right){\frac {\partial {\rm {Y}}^{(2f)}}{\partial \mu }}}{\partial \mu }}-{\frac {4{\rm {Y}}^{(2f)}}{\left(1-\mu ^{2}\right)}}+2f(2f+1){\rm {Y}}^{(2f)}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aedc7eb6a80c987f517689f4f6535ef554927875)