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l’ébranlement primitif, mais qui, si elle ne l’est pas, fait dépendre la stabilité de l’équilibre de la nature de cet ébranlement.

Si, par exemple, l’ébranlement primitif est tel que le centre de gravité du fluide coïncide avec celui du noyau qu’il recouvre, et n’ait aucun mouvement par rapport à lui dans le premier instant, alors ${\rm {Y^{(1)}}}$ et ${\frac {\partial {\rm {Y^{(0)}}}}{\partial t}}$ seront nuls au premier instant, puisque cette coïncidence ne dépend que de la valeur de ${\rm {Y^{(1)}}}$ comme on l’a vu dans le n^o 31 du troisième Livre ; cette valeur sera donc nulle à tous les instants, et par conséquent le centre de gravité du fluide coïncidera toujours avec celui du noyau. Dans ce cas, la stabilité de l’équilibre dépend du signe de $\lambda _{2}^{2},$ et, pour que cette quantité soit positive, il suffit que l’on ait $\rho >{\frac {3}{5}}.$ La valeur de $y$ donne immédiatement celles de $u$ et de $v$ ; en effet, l’équation

${\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=g{\frac {\partial y}{\partial \mu }}{\sqrt {1-\mu ^{2}}}-{\frac {\partial {\rm {V'}}}{\partial \mu }}{\sqrt {1-\mu ^{2}}}$

donne

${\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=\Sigma {\sqrt {1-\mu ^{2}}}\left[g\left(1-{\frac {3}{(2i+1)\rho }}\right){\frac {\partial {\rm {Y^{(i)}}}}{\partial \mu }}-{\frac {\partial {\rm {U^{(i)}}}}{\partial \mu }}\right],$

le signe des intégrales finies $\Sigma$ se rapportant à toutes les valeurs entières positives de $i,$ en y comprenant la valeur $i=0$ ; mais on a, par ce qui précède,

$g\left(1-{\frac {3}{(2i+1)\rho }}\right){\rm {Y}}^{(i)}-{\rm {U}}^{(i)}=-{\frac {1}{i(i+1)l}}{\frac {\partial ^{2}{\rm {Y}}^{(i)^{2}}}{\partial t}}\,;$

partant,

${\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=-\Sigma {\frac {\sqrt {1-\mu ^{2}}}{i(i+1)l}}{\frac {\partial .{\frac {\partial ^{2}{\rm {Y}}^{(i)}}{\partial t^{2}}}}{\partial \mu }},$

d’où l’on tire

$u={\rm {G+H}}t-\Sigma {\frac {\sqrt {1-\mu ^{2}}}{i(i+1)l}}{\frac {\partial {\rm {Y}}^{(i)}}{\partial \mu }},$

${\rm {G}}$ et ${\rm {H}}$ étant des fonctions arbitraires de $\mu$ et de $\varpi .$ On trouvera de la même manière

$v={\rm {K+L}}t+\Sigma {\frac {1}{i(i+1)l\left(1-\mu ^{2}\right)}}{\frac {\partial {\rm {Y}}^{(i)}}{\partial \varpi }},$