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la longitude de la molécule dans cet état, cette longitude étant comptée d’un méridien fixe sur la Terre. Soit $\alpha y$ l’élévation de la molécule $dm$ au-dessus de cette surface d’équilibre, dans l’état de mouvement, et supposons que par cet état $\theta$ se change dans $\theta +\alpha u,$ et $\varpi$ dans $\varpi +\alpha v\,;$ enfin, soit $nt$ le moyen mouvement de rotation de la Terre, et $g$ la pesanteur ; on aura, par le n^o 36 du premier Livre, les deux équations suivantes

(1)

$y=-{\frac {\partial .\gamma u}{\partial \varpi }}-{\frac {\partial .\gamma v}{\partial \varpi }}-{\frac {\gamma u\cos \theta }{\sin \theta }},$

(2)$\quad d\theta \left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}-2n{\frac {\partial v}{\partial t}}\sin \theta \cos \theta \right)$

$+d\varpi \left(\sin ^{2}\theta {\frac {\partial ^{2}v}{\partial t^{2}}}+2n{\frac {\partial u}{\partial t}}\sin \theta \cos \theta \right)=-gdy+d{\rm {V',}}$

les différences $dy$ et $d{\rm {V'}}$ étant uniquement relatives aux variables $\theta$ et $\varpi .$ La fonction $\alpha dV'$ exprime, comme on l’a vu dans le n^o 35 du premier Livre, la somme des produits de toutes les forces qui troublent l’état d’équilibre de la molécule $dm$ par les éléments de leurs directions, en ne conservant que les différentielles $d\theta$ et $d\varpi$. Ces forces sont d’abord l’action du Soleil et de la Lune ; on aura la partie de $\alpha dV'$ relative à cette action, en divisant respectivement la somme des masses du Soleil et de la Lune par leurs distances à la molécule $dm,$ et en différenciant ces quotients par rapport aux variables $\theta$ et $\varpi$ ; or, si l’on nomme $r$ la distance d’un astre ${\rm {L}}$ au centre de la Terre, $v$ sa déclinaison, et $\psi$ son ascension droite, sa distance à la molécule $dm$ sera, par le n^o 23 du troisième Livre, à très-peu près.

${\sqrt {r^{2}-2r\left[\cos \theta \sin v+\sin \theta \cos v\cos(nt+\varpi -\psi )\right]+1}},$

l’angle $nt+\varpi$ étant compté, comme l’angle $\psi ,$ de l’équinoxe du printemps ; ainsi, pour avoir la partie de $\alpha dV'$ relative à l’action de l’astre ${\rm {L}}$, il faut différentier par rapport à $\theta$ et à $\varpi$ la fonction

${\frac {\rm {L}}{\sqrt {r^{2}-2r\left[\cos \theta \sin v+\sin \theta \cos v\cos(nt+\varpi -\psi )\right]+1}}}.$

Mais, comme on suppose le centre de gravité de la Terre immobile, il