45. Supposons maintenant que l’anneau soit une masse fluide homogène, et que sa figure génératrice soit une ellipse ; nommons
la ditance du centre de cette ellipse à celui de Saturne,
étant supposé très-grand par rapport aux dimensions de l’ellipse. Concevons que l’anneau tourne dans son plan autour de Saturne, et nommons
la force centrifuge due à ce mouvement de rotation à la distance
de l’axe de rotation. Cette force, relativement à la molécule de l’anneau dont les coordonnées sont
et
, sera
et en la multipliant par l’élément de sa direction, le produit sera
L’attraction
de Saturne sur la même molécule est
étant la masse de Saturne ; en la multipliant par l’élément de sa direction, qui est égal à
on aura, en négligeant les carrés de
et de
![{\displaystyle -{\frac {{\rm {S}}du}{a^{2}}}+{\frac {2{\rm {S}}udu}{a^{3}}}-{\frac {{\rm {S}}zdz}{a^{3}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5816a784be8407c2d11260d0ecc09367d2ab618b)
Les attractions que la même molécule éprouve de la part de l’anneau, multipliées par les éléments
et
de leurs directions, donnent les produits
![{\displaystyle -{\frac {4\pi udu}{\lambda +1}}\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb26ada45bf4d9f48ed01616702eb4a3459d2d10)
et
![{\displaystyle \quad -{\frac {4\pi \lambda zdz}{\lambda +1}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99db24b6e2d3b2077e266c785df875ed3233ad5a)
Présentement, la condition générale de l’équilibre est que la somme de tous ces produits soit nulle ; on a donc
![{\displaystyle 0=\left({\frac {\rm {S}}{a^{2}}}-ag\right)du+\left({\frac {4\pi }{\lambda +1}}-{\frac {2{\rm {S}}}{a^{3}}}-g\right)udu+\left({\frac {4\pi \lambda }{\lambda +1}}+{\frac {\rm {S}}{a^{3}}}\right)zdz}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5017a18ad4678472d15eb35d2dd0ff1afea9bd2)
c’est l’équation diff^érentielle de la figure génératrice de l’anneau ; mais nous avons supposé que cette figure est une ellipse dont l’équation est
et dont l’équation différentielle est par conséquent
en comparant cette équation diff*érentielle à la précédente, on aura les deux suivantes
![{\displaystyle g={\frac {\rm {S}}{a^{2}}},\qquad {\frac {{\frac {4\pi \lambda }{\lambda +1}}+{\frac {\rm {S}}{a^{3}}}}{{\frac {4\pi }{\lambda +1}}-{\frac {3{\rm {S}}}{a^{3}}}}}=\lambda ^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0bd1836f0822fc660514599721c7d7a6e4ff58a)