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l’angle azimutal qui, par conséquent, est égal à

$100^{\circ }-s\operatorname {tang} \psi _{\text{ı}}\left(1-\alpha u'_{\text{ı}}+\alpha {\frac {\partial u'_{\text{ı}}}{\partial \psi }}\operatorname {tang} \psi _{\text{ı}}-{\frac {\alpha {\frac {\partial ^{2}u'_{\text{ı}}}{\partial \varphi ^{2}}}}{\cos ^{2}\psi _{\text{ı}}}}\right).$

Il faut, pour plus d’exactitude, ajouter à cet angle la partie dépendante de $s^{2}$ et indépendante de $\alpha ,$ que l’on obtient dans l’hypothèse de la Terre sphérique : cette partie est égale à ${\frac {1}{3}}s^{3}\left({\frac {1}{2}}+\operatorname {tang} ^{2}\psi _{\text{ı}}\right)\operatorname {tang} \psi _{\text{ı}}\,;$ ainsi l’angle azimutal à l’extrémité de l’arc $s$ est égal à

$100^{\circ }-s\operatorname {tang} \psi _{\text{ı}}\times$

$\left(1-\alpha u'_{\text{ı}}+\alpha {\frac {\partial u'_{\text{ı}}}{\partial \psi }}\operatorname {tang} \psi _{\text{ı}}-{\frac {\alpha {\frac {\partial ^{2}u'_{\text{ı}}}{\partial \varphi ^{2}}}}{\cos ^{2}\psi _{\text{ı}}}}-{\frac {1}{3}}s^{2}\left({\frac {1}{2}}+\operatorname {tang} ^{2}\psi _{\text{ı}}\right)\right).$

Le rayon osculateur de la ligne géodésique formant un angle quelconque avec le plan du méridien est égal à

${\frac {ds^{2}}{\sqrt {\left(d^{2}x\right)^{2}+\left(d^{2}y\right)^{2}+\left(d^{2}z\right)^{2}}}},$

$ds$ étant supposé constant ; soit ${\rm {R}}$ ce rayon. L’équation

$x^{2}+y^{2}+z^{2}=1+2\alpha u'$

donne

$xd^{2}x+yd^{2}y+zd^{2}z=-ds^{2}+\alpha d^{2}u'.$

Si l’on ajoute le carré de cette équation aux carrés des équations (O), on aura, en négligeant les termes de l’ordre $\alpha ^{2},$

$\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)\left[\left(d^{2}x\right)^{2}+\left(d^{2}y\right)^{2}+\left(d^{2}z\right)^{2}\right]=ds^{4}-2\alpha ds^{2}d^{2}u',$

d’où l’on tire

${\rm {R}}=1+\alpha u'+\alpha {\frac {d^{2}u'}{ds^{2}}}.$

Dans le sens du méridien, on a

$\alpha {\frac {d^{2}u'}{ds^{2}}}=\alpha {\frac {\partial ^{2}u'}{\partial \psi ^{2}}}\,;$

partant,

${\rm {R}}=1+\alpha u'+\alpha {\frac {\partial ^{2}u'}{\partial \psi ^{2}}}.$