on a donc, en observant que
est ici de l’ordre
et qu’ainsi, en négligeant les quantités de l’ordre
on a
![{\displaystyle c'=r_{\text{ı}}\cos \theta _{\text{ı}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18f43e518a2df872bacce344c395a7c69c95a275)
les quantités
et
, étant relatives à l’origine ; partant, si l’on considère qu’à cette origine l’angle
est ce que nous avons nommé précédemment
et dont nous avons trouvé la valeur égale à
on aura à ce point
![{\displaystyle {\frac {d\theta _{\text{ı}}}{ds}}=\alpha {\frac {\partial u'_{\text{ı}}}{\partial \varphi }}{\frac {\sin \psi _{\text{ı}}}{\cos ^{2}\psi _{\text{ı}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15b2b02eec1aa42dfd1c8311ca338e276e658a20)
L’équation (q) donne ensuite
![{\displaystyle {\frac {d^{2}\theta _{\text{ı}}}{ds^{2}}}={\frac {\cos \theta _{\text{ı}}}{r_{\text{ı}}}}{\frac {d\varphi _{\text{ı}}}{ds}}-\alpha {\frac {\partial u'_{\text{ı}}}{\partial \psi }}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/006e5b8187f79169e088786f081cf14ee6e6132a)
mais on a
![{\displaystyle {\frac {d\varphi _{\text{ı}}}{ds}}={\frac {1}{r_{\text{ı}}\sin \theta _{\text{ı}}}},\qquad r_{\text{ı}}=1+\alpha u'_{\text{ı}},\qquad \theta _{\text{ı}}=100^{\circ }-\psi _{\text{ı}}-\alpha {\frac {\partial u'_{\text{ı}}}{\partial \psi }}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90452539424d0ae9d13e09564099e51f843fc61e)
on aura donc
![{\displaystyle {\frac {d^{2}\theta _{\text{ı}}}{ds^{2}}}=\left(1-2\alpha u'_{\text{ı}}\right)\operatorname {tang} \psi _{\text{ı}}+\alpha {\frac {\partial u'_{\text{ı}}}{\partial \psi }}\operatorname {tang} \psi _{\text{ı}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d21c0c2e7d2205c6b68ba61180bc67dcc1a680e)
L’équation (p) donne, en observant qu’à l’origine
![{\displaystyle {\frac {d\varphi _{\text{ı}}}{ds}}={\frac {1}{r_{\text{ı}}\sin \theta _{\text{ı}}}}={\frac {1}{\cos \psi _{\text{ı}}}}\left(1-\alpha u'_{\text{ı}}+\alpha {\frac {\partial u'_{\text{ı}}}{\partial \psi }}\operatorname {tang} \psi _{\text{ı}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47da10bb1a3a0c9f7d7794189cbb3d1fa9b7aab7)
celle-ci
![{\displaystyle c=r_{\text{ı}}\sin \theta _{\text{ı}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f98db72725673016cb395d79fc84a633b766b32f)
d’où l’on tire
![{\displaystyle {\frac {d^{2}\varphi _{\text{ı}}}{ds^{2}}}=-{\frac {2\alpha {\frac {du'_{\text{ı}}}{ds}}}{r^{2}\sin \theta _{\text{ı}}}}-{\frac {2{\frac {d\theta _{\text{ı}}}{ds}}\cos \theta _{\text{ı}}}{r_{\text{ı}}\sin ^{2}\theta _{\text{ı}}}}+{\frac {\alpha {\frac {\partial u'_{\text{ı}}}{\partial \varphi }}}{\cos ^{2}\psi _{\text{ı}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b6b8e144507450990b1222e808f6b7a223ffdf8)
et par conséquent
![{\displaystyle {\frac {d^{2}\varphi _{\text{ı}}}{ds^{2}}}=-\alpha {\frac {\partial u'_{\text{ı}}}{\partial \varphi }}{\frac {2-\cos ^{2}\psi _{\text{ı}}}{\cos ^{4}\psi _{\text{ı}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66df6ceb10d93b2de130910e776388b0936d88ab)