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et par conséquent l’équation {p) donne

$c=\alpha {\frac {\partial u'_{\text{ı}}}{\partial \varphi }}\operatorname {tang} \psi _{\text{ı}},$

$u'_{\text{ı}}$ et $\psi _{\text{ı}}$ se rapportant à l’origine de l’arc $s$.

À l’extrémité de l’arc mesuré, le côté de la courbe fait avec le plan du méridien céleste correspondant un angle à très-peu près égal à la différentielle de $(\varphi -{\rm {V)\cos \psi }}$ divisée par $d\psi ,\ {\rm {V}}$ étant supposé constant dans la différentiation ; en désignant donc cet angle par $\varpi ,$ on aura

$\varpi ={\frac {d\varphi }{d\psi }}\cos \psi -(\varphi -{\rm {V}})\sin \psi .$

Si l’on substitue pour ${\frac {d\varphi }{d\psi }}$ sa valeur tirée de l’équation (p), et pour $\varphi -{\rm {V}}$ sa valeur précédente, on aura

$\varpi ={\frac {\alpha }{\cos \psi }}\left({\frac {\partial u'_{\text{ı}}}{\partial \varphi }}\operatorname {tang} \psi _{\text{ı}}-{\frac {\partial u'}{\partial \varphi }}\operatorname {tang} \psi +\int d\psi {\frac {\partial u'}{\partial \varphi }}\right),$

l’intégrale étant prise depuis l’origine de l’arc mesuré jusqu’à son extrémité. Nommons $\varepsilon$ la différence en latitude de ses deux points extrêmes, $\varepsilon$ étant supposé assez petit pour que l’on puisse négliger son carré ; on aura

$\varpi ={\frac {\alpha \varepsilon \operatorname {tang} \psi }{\cos \psi }}\left({\frac {\partial u'}{\partial \varphi }}\operatorname {tang} \psi +{\frac {\partial ^{2}u'}{\partial \varphi \partial \psi }}\right),$

les valeurs de $\psi ,{\frac {\partial u'}{\partial \varphi }}$ et ${\frac {\partial ^{2}u'}{\partial \varphi \partial \psi }}$ devant se rapporter ici, pour plus d’exactitude, au milieu de l’arc mesuré. L’angle et doit être supposé positif lorsqu’il s’écarte du méridien dans le sens des accroissements de $\varphi .$

Pour avoir la différence en longitude des deux méridiens correspondants aux extrémités de l’arc, nous observerons que, $u'_{\text{ı}},{\rm {V_{\text{ı}},\psi _{\text{ı}}}}$ et $\varphi _{\text{ı}}$ étant les valeurs de $u',{\rm {V,\psi }}$ et $\varphi$ à la première extrémité, on a

$\varphi _{\text{ı}}-{\rm {V}}_{\text{ı}}={\frac {\alpha {\frac {\partial u'_{\text{ı}}}{\partial \varphi }}}{\cos ^{2}\psi _{\text{ı}}}},\qquad \varphi -{\rm {V}}={\frac {\alpha {\frac {\partial u'}{\partial \varphi }}}{\cos ^{2}\psi }}\,;$