Maintenant, si l’on nomme
l’angle que fait le plan du méridien céleste avec celui des
et des
d’où l’on compte l’origine de l’angle
on aura
![{\displaystyle dx'\operatorname {tang} {\rm {V}}=dy',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d09ce8f935a41a3d4cf64b578835c14853b800d8)
étant les coordonnées de ce méridien, dont on a vu dans le numéro précédent que l’équation différentielle est
![{\displaystyle dz'=adx'+bdy'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2dc0ba0fb38246948401ee0a27cf782ed0cbcaad)
En la comparant à la précédente, on voit que
et
sont infinis, et tels que
l’équation (a) du numéro précédent donne ensuite
![{\displaystyle 0={\frac {\partial u}{\partial x}}\operatorname {tang} {\rm {V}}-{\frac {\partial u}{\partial y}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80c35a1b2de24645529b36339db55ea048a91154)
d’où l’on tire
![{\displaystyle 0=x\operatorname {tang} {\rm {V}}-y-\alpha {\frac {\partial u'}{\partial x}}\operatorname {tang} {\rm {V}}+\alpha {\frac {\partial u'}{\partial y}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef3ecb4b25201960388cba70968ed912ea5236f3)
On peut supposer
dans les termes multipliés par
; de plus,
on a donc
![{\displaystyle \cos \psi \cos \varphi (\operatorname {tang} \varphi -\operatorname {tang} {\rm {V}})={\frac {\alpha {\frac {\partial u'}{\partial \varphi }}}{\cos \psi \cos \varphi }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48e965495ae4bb25e313f912a04e10c2650b1955)
ce qui donne
![{\displaystyle \varphi -{\rm {V}}={\frac {\alpha {\frac {\partial u'}{\partial \varphi }}}{\cos ^{2}\psi }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/618d58ed7df02ab492e2003d6db6a1d8466e6964)
Le premier côté de la ligne géodésique étant supposé parallèle au plan du méridien céleste, les différentielles de l’angle
et de la distance
de l’origine de la courbe au plan du méridien céleste doivent être nulles à cette origine ; on a donc à ce point
![{\displaystyle {\frac {\varphi }{\psi }}=(\varphi -{\rm {V}})\operatorname {tang} \psi ={\frac {\alpha {\frac {\partial u'}{\partial \varphi }}\operatorname {tang} \psi }{\cos ^{2}\psi }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26ed3cf96323dd56b3a180f149aa410fdb2b3ac4)