que le côté formé par les deux premiers objets ; ainsi le prolongement du premier côté de la courbe s’élève au-dessus du plan de ce second triangle ; mais on le plie sur ce plan, de manière qu’il forme toujours les mêmes angles avec le côté commun aux deux triangles, et il est aisé de voir que pour cela il doit être plié suivant une verticale à ce plan. Telle est donc la propriété caractéristique de la courbe tracée par les opérations géodésiques. Son premier côté, dont la direction peut être supposée quelconque, est tangent à la surface de la Terre ; son second côté est le prolongement de cette tangente, plié suivant une verticale ; son troisième côté est le prolongement du second côté, plié suivant une verticale, et ainsi de suite.
Si, par le point de réunion de deux de ces côtés, on mène dans le plan tangent à la surface du sphéroïde une ligne perpendiculaire à l’un des côtés, il est visible qu’elle sera perpendiculaire à l’autre côté ; d’où il suit que la somme de ces côtés est la ligne la plus courte que l’on puisse mener sur cette surface entre leurs points extrêmes. Ainsi les lignes tracées par les mesures géodésiques ont la propriété d’être les plus courtes que l’on puisse mener sur la surface du sphéroïde, entre deux de leurs points quelconques ; et, par ce qu’on a vu dans le no 9 du premier Livre, elles seraient décrites par un mobile mû uniformément dans cette surface.
Soient les coordonnées rectangles d’un point quelconque de la courbe ; seront les coordonnées d’un point infiniment voi\sin. Nommons l’élément de la courbe, et supposons cet élément prolongé d’une quantité égale à seront les coordonnées de l’extrémité de ce prolongement. En le pliant suivant une verticale, les coordonnées de cette extrémité deviendront ainsi seront les coordonnées de la verticale, prises en partant de son pied ; on aura donc, par la nature de la verticale et en supposant que soit l’équation de la surface de la Terre,
