on aura les deux équations
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\Sigma \left(m-{\frac {4\pi }{2i+1}}\right){\rm {Y}}^{(i)}=\Sigma {\rm {U'}}^{(i)}-{\frac {g'}{2}}\left(\mu ^{2}-{\frac {1}{3}}\right),\\\\&\Sigma \left(m-{\frac {4\pi }{2i+1}}\right){\rm {Y'}}^{(i)}={\rm {C'+}}\\&\Sigma \left[{\rm {U''}}^{(i)}-(i+1)y{\rm {U'}}^{(i)}-{\frac {4\pi (i+1)}{2i+1}}y{\rm {Y}}^{(i)}+\left(m+{\frac {4\pi (i+2)}{2(2i+1)}}\right){\rm {M'}}^{(i)}\right]\\&\qquad -g'y\left(\mu ^{2}-{\frac {1}{3}}\right),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47b795dea90e3db86cf52d377c4f7657c82597c6)
étant une constante arbitraire. La première de ces équations détermine
et par conséquent la valeur de
En la substituant dans le second membre de la seconde équation, on le développera, par la méthode du no 16, dans une suite de la forme
![{\displaystyle {\rm {N}}^{(0)}+{\rm {N}}^{(1)}+{\rm {N}}^{(2)}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87c0c4efdf0a7ca5655625a54fbe2f7e5a701480)
étant assujetti à la même équation aux différences partielles que
et l’on déterminera la constante
de manière que
soit nul ; on aura ainsi
![{\displaystyle {\rm {Y'}}^{(i)}={\frac {{\rm {N}}^{(i)}}{m-{\frac {4\pi }{2i+1}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d154f79acac172080dfa9e12aad27b485d1bdbf6)
et par conséquent
![{\displaystyle y'={\frac {{\rm {N}}^{(1)}}{m-{\frac {4}{3}}\pi }}+{\frac {{\rm {N}}^{(2)}}{m-{\frac {4}{3}}\pi }}+{\frac {{\rm {N}}^{(3)}}{m-{\frac {4}{3}}\pi }}+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22e17630dc2c8feb2edb826521ee4f2cb1c7bc8d)
L’expression du rayon
de la surface fluide sera ainsi déterminée aux quantités près de l’ordre
et l’on pourra, par le même procédé, porter l’approximation aussi loin que l’on voudra. Nous n’insisterons pas davantage sur cet objet, qui n’a de difficulté que la longueur du calcul ; mais nous tirerons de l’analyse précédente cette conclusion importante, savoir, que l’on peut affirmer que l’équilibre est rigoureusement possible, quoique l’on ne puisse pas assigner la figure rigoureuse qui y satisfait ; car on peut trouver une suite de figures qui, substituées dans l’équation de l’équilibre, laissent des restes successivement plus petits et qui deviennent moindres qu’aucune grandeur donnée.