infinie,
serait égal à la somme des masses du sphéroïde et du fluide, divisée par
; en nommant donc
cette somme, on aura
Ne portons l’approximation que jusqu’aux quantités de l’ordre
; nous pourrons supposer
![{\displaystyle r=1+\alpha y+\alpha ^{2}y',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6b46458167b28f70c2f46bd861bae61e87a2d34)
ce qui donne
![{\displaystyle r^{i+3}=1+(i+3)\alpha y+{\frac {(i+2)(i+3)}{1.2}}\alpha ^{2}y^{2}+(i+3)\alpha ^{2}y'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46556ee25250aef26d19b0bd86e7f90e985c4b5b)
Supposons
![{\displaystyle {\begin{aligned}y&={\rm {Y^{(1)}\ +Y^{(2)}\ +Y^{(3)}+\ldots ,}}\\y'&={\rm {Y'^{(1)}+Y'^{(2)}+Y'^{(3)}+\ldots ,}}\\y^{2}&={\rm {M^{(0)}+M^{(1)}+M^{(2)}+\ldots ,}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb3b565ed7a7f82ff27d3c1265e5d5fd4776760e)
et
étant assujettis à la même équation aux différences partielles que
nous aurons
![{\displaystyle {\rm {Z}}^{(i)}=(i+3)\alpha {\rm {Y}}^{(i)}+{\frac {(i+2)(i+3)}{1.2}}\alpha ^{2}{\rm {M}}^{(i)}+(i+3)\alpha ^{2}{\rm {Y'}}^{(i)}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/483235c110ae45db1b4affad3a94b5636099a088)
Nous observerons ensuite que
est une quantité de l’ordre
puisqu’elle serait nulle si le sphéroïde était une sphère ; en ne portant ainsi l’approximation que jusqu’aux termes de l’ordre
sera de cette forme
En substituant donc ces valeurs dans l’équation précédente de l’équilibre, et en y changeant
dans
on aura, aux quantités près de l’ordre ![{\displaystyle \alpha ^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3cec7e4711eca9569982da128a1b5186ae022e7)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\rm {const}}.&=m\left(1-\alpha y+\alpha ^{2}y^{2}-\alpha ^{2}y'^{2}\right)\\&+\Sigma \left[{\rm {U'}}^{(i)}+\alpha ^{2}{\rm {U''}}^{(i)}-(i+1)\alpha ^{2}y{\rm {U'}}^{(i)}+{\frac {4\alpha \pi }{2i+1}}{\rm {Y}}^{(i)}\right.\\\\&\left.-{\frac {4\alpha ^{2}\pi (i+1)}{2i+1}}y{\rm {Y}}^{(i)}+{\frac {4\alpha ^{2}\pi }{2i+1}}{\rm {Y'}}^{(i)}+{\frac {4\alpha ^{2}\pi (i+2)}{2(2i+1)}}{\rm {M}}^{(i)}\right]\\\\&-{\frac {\alpha g(1+2\alpha y)}{2}}\left(\mu ^{2}-{\frac {1}{3}}\right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a44c172f516ea23545d01f309ea0af23ee506e7)
En égalant séparément à zéro les termes de l’ordre
et ceux de l’ordre