Telles sont les conditions qui résultent de la supposition que le sphéroïde tourne autour d’un de ses axes principaux de rotation. Cette supposition détermine les constantes
au moyen des valeurs de
; mais elle laisse indéterminées les quantités
et
ainsi que les fonctions ![{\displaystyle {\rm {Y}}^{(3)},{\rm {Y}}^{(4)},\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/462f1ed86117ade22a60bd557a9fe69f173c6790)
Si les forces étrangères à l’attraction des molécules du sphéroïde se réduisent à la force centrifuge due à son mouvement de rotation, on aura
partant
et l’expression de
sera de la forme
![{\displaystyle -h\left(\mu ^{2}-{\frac {1}{3}}\right)+h^{\rm {iv}}\left(1-\mu ^{2}\right)\cos 2\varpi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7cddb6729aec8a2fd41dccd4eae55e0b27d66ad1)
33. Considérons l’expression de la pesanteur à la surface du sphéroïde. Nommons
cette force ; il est aisé de voir, par le no 25, que l’on aura sa valeur en différenciant le second membre de l’équation (1) du no 29 par rapport à
et en divisant sa différentielle par
ce qui donne, à la surface,
![{\displaystyle p={\frac {4\pi }{3r^{2}}}\int \rho d.a^{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf0078b1b47666d08ecbc6ba53ded5f48e27a0eb)
![{\displaystyle +{\frac {4\alpha \pi }{r^{2}}}\int \rho d\left(a^{3}{\rm {Y}}^{(0)}+{\frac {2a^{4}}{3r}}{\rm {Y}}^{(1)}+{\frac {3a^{5}}{5r^{2}}}{\rm {Y}}^{(2)}+{\frac {4a^{6}}{7r^{3}}}{\rm {Y}}^{(3)}+\ldots \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6d95bfe285ef5520913c684e929d0d7a9135967)
![{\displaystyle -\alpha r\left(2{\rm {Z}}^{(0)}+2{\rm {Z}}^{(2)}+3r{\rm {Z}}^{(3)}+4r^{2}{\rm {Z}}^{(4)}+\ldots \right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24c941c43bedbbce3c19a8ee154e6759a0a7d247)
ces intégrales étant prises depuis
jusqu’à
Le rayon
à la surface est égal à
ou égal à
![{\displaystyle 1+\alpha \left({\rm {Y}}^{(0)}+{\rm {Y}}^{(1)}+{\rm {Y}}^{(2)}+\ldots \right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/421d6db2d289d4ab2dfcc0ccef4e78f8204067a9)
on aura ainsi
![{\displaystyle {\begin{aligned}p=&{\frac {4\pi }{3}}\int \rho d.a^{3}-{\frac {8\alpha \pi }{3}}\left({\rm {Y}}^{(0)}+{\rm {Y}}^{(1)}+{\rm {Y}}^{(2)}+\ldots \right)\int \rho d.a^{3}\\\\&+4\alpha \pi \int \rho d\left(a^{3}{\rm {Y}}^{(0)}+{\frac {2a^{4}}{3}}{\rm {Y}}^{(1)}+{\frac {3a^{5}}{5}}{\rm {Y}}^{(2)}+{\frac {4a^{6}}{7}}{\rm {Y}}^{(3)}+\ldots \right)\\\\&-\alpha \left(2{\rm {Z}}^{(0)}+2{\rm {Z}}^{(2)}+3{\rm {Z}}^{(3)}+4{\rm {Z}}^{(4)}+\ldots \right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21661cc80e81540f988a173d8e6e0dd38890b9f5)
On peut faire disparaître les intégrales de cette expression au moyen de l’équation (2) du no 29, qui devient, à la surface,
![{\displaystyle {\frac {4\pi }{2i+1}}\int \rho d\left(a^{i+3}{\rm {Y}}^{(i)}\right)={\frac {4}{3}}\pi {\rm {Y}}^{(i)}\int \rho d.a^{3}-{\rm {Z}}^{(i)}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f5857e6f6a3490b53c4a26354d36dea1c490d57)