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$s=i-2\,;$ elle est, par conséquent, la seule que l’on doive admettre. En la substituant dans l’équation (2) du numéro précédent, et en y supposant ${\rm {Z}}^{(1)}=0,$ la fonction ${\rm {U}}^{(i)}$ disparaît, et par conséquent reste arbitraire ; mais la condition que l’origine du rayon $r$ est au centre de gravité du sphéroïde terrestre la rend nulle ; car on verra, dans le numéro suivant, qu’alors ${\rm {Y}}^{(1)}$ est nul à la surface de tout sphéroïde recouvert d’une couche de fluide en équilibre ; on aura donc, dans le cas présent, ${\rm {U}}^{(1)}=0\,;$ ainsi ${\rm {Y}}^{(1)}$ est nul relativement à toutes les couches fluides qui forment le sphéroïde.

Considérons maintenant l’équation générale

${\rm {Y}}^{(i)}=a^{s}{\rm {U}}^{(i)}+a^{s'}{\rm {U'}}^{(i)}+\ldots \,;$

$s$ étant, comme on vient de le voir, égal à $i-2,\ s$ est nul ou positif, lorsque $i$ est égal ou plus grand que $2$ ; de plus, les fonctions ${\rm {U'}}^{(i)},{\rm {U''}}^{(i)},\ldots$ sont données en ${\rm {U}}^{(i)},$ par l’équation (e) de ce numéro, en sorte que l’on a

${\rm {Y}}^{(i)}=h{\rm {U}}^{(i)},$

$h$ étant une fonction de $a$, et ${\rm {U}}^{(i)},$ en étant indépendant. Si l’on substitue cette valeur de ${\rm {Y}}^{(i)}$ dans l’équation différentielle en ${\rm {Y}}^{(i)}$ on aura

${\frac {d^{2}h}{da^{2}}}=\left[i(i+1)-{\frac {6\rho a^{3}}{\int \rho d.a^{3}}}\right]{\frac {h}{a^{2}}}-{\frac {6\rho a^{2}}{\int \rho d.a^{3}}}{\frac {dh}{da}}.$

Le produit $i(i+i)$ est plus grand que ${\frac {6\rho a^{3}}{\int \rho d.a^{3}}},$ lorsque $i$ est égal ou plus grand que $2$ ; car la fraction ${\frac {\rho a^{3}}{\int \rho d.a^{3}}}$ est moindre que l’unité ; en effet, son dénominateur $\int \rho d.a^{3}$ est égal à $\rho a^{3}-\int a^{3}d\rho ,$ et la quantité $-\int a^{3}d\rho$ est positive, puisque $\rho$ diminue du centre à la surface.

Il suit de là que $h$ et ${\frac {dh}{da}}$ sont constamment positifs, du centre à la surface. Pour le faire voir, supposons que ces deux quantités soient positives en partant du centre ; $dh$ doit alors devenir négatif avant $h$, et il est clair qu’il doit, pour cela, passer par zéro ; mais dès l’instant où il est nul, $d^{2}h$ devient positif, en vertu de l’équation précédente,