Pour intégrer cette équation, supposons que
soit développé dans une suite ascendante par rapport aux puissances de
de cette forme
![{\displaystyle {\rm {Y}}^{(i)}=a^{s}{\rm {U}}^{(i)}+a^{s'}{\rm {U'}}^{(i)}+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d2a267a99c531736e84f19b5fdc276593072cfe)
l’équation différentielle précédente donnera
(e)
![{\displaystyle \quad \left\{{\begin{aligned}&(s+i+3)(s-i+2)a^{s-2}{\rm {U}}^{(i)}+(s'+i+3)(s'-i+2)a^{s'-2}{\rm {U'}}^{(i)}+\ldots \\&\qquad ={\frac {6n\gamma a^{n}}{(n+3){\text{ϐ}}}}\left[(s+1)a^{s-2}{\rm {U}}^{(i)}+(s'+1)a^{s'-2}{\rm {U'}}^{(i)}+\ldots \right]\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9002c8d1a460c6c33758917e716a718b2ead729e)
En comparant les puissances semblables de
on a d’abord
![{\displaystyle (s+i+3)(s-i+2)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/006db2ad5ed0d0e6016045bbff7643776336453d)
ce qui donne
et
À chacune de ces valeurs de
répond une série particulière, qui, étant multipliée par une arbitraire, sera une intégrale de l’équation différentielle en
la somme de ces deux intégrales en sera l’intégrale complète. Dans le cas présent, la suite qui répond à
doit être rejetée ; car il en résulterait pour
une valeur infinie lorsque
serait infiniment petit, ce qui rendrait infinis les rayons des couches infiniment voi\sines du centre. Ainsi, des deux intégrales particulières de l’expression de
celle qui répond à
doit seule être admise. Cette expression ne renferme plus alors qu’une arbitraire, qui sera déterminée par la fonction ![{\displaystyle {\rm {Z}}^{(i)}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ddd4b75400c7ad595cda08cafe856e4075d57a59)
étant nul par le no 23,
est pareillement nul, en sorte que le centre de gravité de chaque couche est au centre de gravité du sphéroïde entier. En effet, l’équation différentielle en
du numéro précédent donne
![{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}{\rm {Y}}^{(1)}}{\partial a^{2}}}=\left({\frac {2}{a^{2}}}-{\frac {6\rho a}{\int \rho d.a^{3}}}\right){\rm {Y}}^{(1)}-{\frac {6\rho a^{2}}{\int \rho d.a^{3}}}{\frac {\partial {\rm {Y}}^{(1)}}{\partial a}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6be63b7ed52e4debd2ca638290c0f7d73a0b767d)
On satisfait à cette équation en faisant
étant indépendant de
Cette valeur de
est celle qui répond à l’équation